¿Qué clase de derivados satisfacen la EDP de Black-Scholes?

Question

El título resume bastante bien la cuestión, pero voy a aportar algo de contexto.

Hay una gran clase de derivados, como aquellos cuyos beneficios dependen únicamente del precio de la acción al vencimiento -que sí satisfacen la EDP estándar de Black-Scholes. Al mismo tiempo, hay varios dependiente de la trayectoria derivados, como las opciones asiáticas y Lookback, que no satisfacen la EDP estándar de Black-Scholes.

Sin embargo, hay algunos zona gris : Las opciones de barrera, que dependen claramente de la trayectoria, satisfacen de hecho la EDP estándar de Black-Scholes.

Una capa adicional de complejidad se desprende de Opciones al estilo americano cuando el contrato puede ejercerse antes del vencimiento. En realidad, no estoy seguro de que las opciones de venta americanas satisfagan la EDP estándar de Black-Scholes; sé que las opciones de compra americanas sí, porque nunca es óptimo ejercer una opción de compra americana antes de su vencimiento -suponiendo que no haya dividendos en la acción-, lo que la hace equivalente a una opción de compra europea.

Todo esto nos lleva a la pregunta original: ¿Cómo sabemos si una derivada concreta satisface la EDP estándar de Black-Scholes?

Answer 1

Creo que he encontrado la respuesta a mi pregunta: Mientras derivamos la EDP de Black-Scholes, nosotros escribir el precio del derivado $f$ en función de dos cosas: la hora actual $t$ y el precio del subyacente $S_t$ . Esto es no para decir que $f$ no depende de otros factores; depende claramente de otras 5 entradas $(r, \sigma, q, K, T)$ . Pero la razón para escribir el precio derivado como $f(t, S_t)$ es que $t$ y $S_t$ son las entradas que cambiar con el tiempo -siendo constantes las otras 5 entradas.

La elección de mostrar explícitamente la dependencia de $t$ y $S_t$ mientras que la dependencia de los otros 5 insumos juega un papel crucial: nos recuerda que el cambio en el precio del derivado $df$ surge sólo de los cambios en el tiempo $dt$ y los cambios en el precio del subyacente $dS_t$ .

Así que para responder a la pregunta: el precio de un derivado dependerá de múltiples entradas. Pero si sólo dos de esos insumos - $t$ y $S_t$ -cambio a medida que avanzamos en el tiempo el precio del derivado satisfará la EDP de Black-Scholes. Veamos algunos ejemplos estándar para aclarar esta idea.

1) En nuestro modelo, el precio de la norma Opciones europeas sólo cambian debido a los cambios en $t$ y $S_t$ por lo que deben satisfacer la EDP de Black-Scholes.

2) Opciones de barrera dependen de un dato adicional: el nivel de la barrera. A pesar de que hay una entrada adicional, nos preguntamos: "¿Cambia esta entrada a medida que avanzamos en el tiempo?". La respuesta es un no rotundo, lo que nos lleva a concluir -al igual que en el punto (1)- que sólo dos de las entradas, a saber $t$ y $S_t$ son cambiantes, haciendo que el precio de una opción barrera satisfaga la EDP de Black-Scholes.

3) Opciones asiáticas también dependen de un dato adicional: el precio medio de las acciones $A_t$ hasta la hora actual $t$ . Ahora bien, esta es una entrada -a diferencia del nivel de barrera constante del punto (2)- que cambia a medida que avanzamos en el tiempo. Por tanto, el precio de una opción asiática ya no satisface la EDP de Black-Scholes. Para encontrar una EDP para las opciones asiáticas, tendremos que escribir $f$ en función de 3 entradas: $(t, S_t, A_t)$ . En consecuencia, al encontrar el diferencial $df$ También habrá que tener en cuenta $dA_t$ -esto cambiará la forma de la EDP.

Answer 2

¿Tiene pruebas de la zona gris que propone? Mientras que una opción europea estándar entra claramente en el ámbito del BS, no me queda claro que las opciones de barrera también lo hagan.

Por ejemplo, considere una llamada de vainilla escrita sobre algún subyacente, S con huelga, K y el tiempo de caducidad, t ...y una llamada de entrada con las mismas condiciones fuera de la función de barrera, fijada al precio B . Incluso asumiendo que las dos opciones valen lo mismo para S < K y S > B obviamente no valen lo mismo para K < S < B a pesar de tener las mismas entradas de BS. Por lo tanto, su recompensa esperada no puede ambos representarse con exactitud mediante BS.