Estática comparativa del modelo de Ramsey, el efecto de un cambio en el crecimiento de la población en la relación capital-trabajo en estado estacionario

Question

En el libro de Acemoglu "Introducción al crecimiento económico moderno" hay una proposición 8.3 que afirma que el impacto de un cambio en la tasa de crecimiento de la población sobre la relación capital-trabajo en estado estacionario es cero. Sin embargo, no he podido demostrar esto, que también se pide en el ejercicio 8.17. Tiene más sentido que este efecto sea negativo. ¿Puede alguien ofrecer una explicación de por qué este efecto debería ser cero?

Editar:

Añadiendo mi intento:

Tenemos dos ecuaciones diferenciales:

$\frac{\dot c_t}{c_t}=\frac{1}{\epsilon_u}(A\tilde f'(k(t))-\rho-\delta)$

$\dot k_t = f(k(t)) -(n+\delta)k(t) -c(t)$

Para el estado estacionario $\frac{\dot c_t}{c_t}=0$ ya que $\epsilon_u<0$ tiene que ser el caso que $\tilde f'(k^*)=\frac{\rho+\delta}{A}$ . Entonces,

$k^* = \tilde f'^{-1}(\frac{\rho+\delta}{A})$ .

Desde $\tilde f(k(t))$ es cóncavo en $k(t)$ entonces $\tilde f'(k(t))$ es estrictamente decreciente. Por lo tanto, por el teorema de la función inversa, tenemos el resultado de que $\frac{\partial k^{*}}{\partial A} >0,\frac{\partial k^{*}}{\partial \rho} <0$ y $\frac{\partial k^{*}}{\partial \delta} < 0$ . Además $\frac{\partial k^{*}}{\partial n} = 0$ desde $n$ no es un argumento de $k^{*}$ .

Así que estoy confundido aquí porque entonces no entiendo por qué Acemoglu escribió $k^* = k^*(A,\rho,n,\delta)$ si $n$ no es un argumento de $k^{*}$ .

Además tenemos que demostrar que $\frac{\partial c^{*}}{\partial n}<0$ . Para ello utilizo la ley del movimiento del capital y la pongo a cero y la reordeno en términos de $c^*$ ,

$c^* = f(k^*) -(n+\delta)k^*$ .

Diferenciación con respecto a $n$ ,

$\frac{\partial c^*}{\partial n}= f'(k^*)\frac{\partial k^*}{\partial n} -k^* - n\frac{\partial k^*}{\partial n}$

Si $\frac{\partial k^*}{\partial n}=0$ entonces lo anterior se reduce a,

$\frac{\partial c^*}{\partial n}= -k^* <0$ .

Así que mi pregunta sería, ¿estoy en lo cierto al utilizar el teorema de la función inversa? ¿Son exactas mis derivaciones?

Answer 1

1. $n$ no tiene ningún efecto sobre $K/L$ simplemente porque $n$ no aparece en el Euler. Sin embargo, esto depende de cómo escribas la función objetivo. En tu formulación, tienes $e^{-\rho t}U(c)L$ bajo la integral.

2. Se pueden evitar (casi) los derivados. Producto marginal decreciente de $f(k)$ implica lo siguiente:

Cuando $\rho$ aumenta, $f’(k^*)$ sube, lo que entonces debe ser coherente con una menor $k^*$ .