Correlación entre el activo A y la cartera X (que contiene A)

Question

¡Después de unas cuantas horas tratando de resolver esto me rindo! Necesito ayuda.

Necesito calcular la BETA de un activo con respecto a una cartera que contiene este activo. Tengo la volatilidad y las correlaciones de toda la cartera, y la asignación.

Podría utilizar una fórmula para calcular la correlación entre el activo A y la cartera. Porque podría obtener Beta con la fórmula habitual.

Necesito una fórmula, no un método para calcular esto basado en los precios históricos.

Así que esto es lo que tengo:

Correlación:

   A    B      C
A  1    0.85  0.78
B 0.85   1    0.84
C 0.78  0.84   1

S.D.

  A       B      C
19.74% 25.76% 31.19%

Asignación:

  A       B      C
25.00% 25.00% 50.00%

¡¡Espero que me puedan ayudar!!

Answer 1

Sólo hay que tener en cuenta lo siguiente $$\begin{align*} corr\left(X_1, \sum_{i=1}^nw_i X_i\right) &= \frac{cov\big(X_1, \, \sum_{i=1}^nw_i X_i \big)}{\sqrt{var(X_1)} \sqrt{var(\sum_{i=1}^n w_i X_i)}}\\ &= \frac{E\Big(\big(X_1-E(X_1)\big)\big(\sum_{i=1}^n w_i X_i - E(\sum_{i=1}^n w_i X_i) \big)\Big)}{\sqrt{var(X_1)} \sqrt{var(\sum_{i=1}^n w_i X_i)}}\\ &= \frac{\sum_{i+1}^n w_i E\big((X_1-E(X_1))(X_i - E( X_i) )\big)}{\sqrt{var(X_1)} \sqrt{var(\sum_{i=1}^n w_i X_i)}}\\ &= \frac{\sum_{i=1}^n w_i\rho_{1, i} \sigma_1 \sigma_i}{\sigma_1 \sqrt{\sum_{i, j=1}^n w_iw_j\rho_{i, j} \sigma_i \sigma_j}}\\ &= \frac{\sum_{i=1}^n w_i\rho_{1, i} \, \sigma_i}{\sqrt{\sum_{i, j=1}^n w_iw_j\rho_{i, j} \sigma_i \sigma_j}}. \end{align*}$$

Answer 2

¡Gracias Gordon! Pues además de la solución que has posteado, esto es lo que realmente he utilizado en el script donde necesitaba esta fórmula. Por si a alguien más le sirve:

Cov(X,A) = Cov(0,25A+0,25B+0,5C,A) = 0,25Var(A) + 0,25Cov(B,A) + 0,5 Cov(C,A)

Corr(X,A) = Cov(X,A) / sqrt( Var(X)*Var(A) )

beta[A] = ( vol[A] / vol[X] ) * Corr[X,A]

¡que tenga un buen día!