por qué $f(t,u) \neq E_t^Q [r(u)]$ cuando $r$ ¿es aleatorio?

Question

Si supongo que la tasa corta $r$ determinista, y la medida de riesgo neutral $Q$ Puedo escribir lo siguiente:

$$f(t,u) = -\frac{d}{du}\ln P(t,u) = -\frac{d}{du} E_t^Q \left[ e^{-\int_t^{u}r_sds} \right] = E_t^Q \left[ \frac{d}{du} \int_t^{u}r_sds \right] = E_t^Q \left[ \frac{d}{du} (R_u - R_t) \right] = E_t^Q [r_u]$$

con $f$ el tipo de cambio a plazo instantáneo y $P$ el precio de un bono de cupón cero.

Ahora me pregunto, ¿cuál de las igualdades aquí que no se mantiene cuando $r$ ¿es un proceso aleatorio? ¿Alguna ayuda, por favor?

Answer 1

Sus ecuaciones son defectuosas. Además no hay ninguna expectativa si el proceso $\{r_s\}$ es determinista.

El razonamiento correcto es, asumiendo $\{r_s\}$ es estocástica: $$ f(t,u)=-\frac{d}{du}\ln P(t,u)=-\frac{\frac{d}{du}P(t,u)}{P(t,u)}\\ =-\frac{\frac{d}{du}E^Q_t[e^{-\int_t^u r_s ds}]}{P(t,u)} =\frac{E^Q_t[e^{-\int_t^u r_s ds} r_u]}{P(t,u)} =E^Q_t\left[\frac{e^{-\int_t^u r_s ds}}{P(t,u)} r_u\right]\\ =E^{Q^u}_t[r_u] $$ donde $Q^u$ es el $u$ -medida de avance (la medida asociada a $P(.,u)$ como numerario) definido como $$ \frac{dQ^u}{dQ}=\frac{e^{-\int_t^u r_s ds}}{P(t,u)} $$

Si $\{r_s\}$ es determinista entonces $\frac{dQ^u}{dQ}=1$ es decir, las dos medidas son idénticas.