Externalidades - Condiciones de primer orden

Question

Actualmente estoy leyendo el libro "Microeconomía: Principios y Análisis" de Cowell por mi cuenta. Estoy leyendo el capítulo de las externalidades y he encontrado un ejemplo interesante:

Sólo hay dos empresas: la empresa 1 es la que contamina y la empresa 2 es la víctima. La empresa 2 (la víctima) ofrece a la empresa 1 un pago secundario o soborno. El soborno es una cantidad que se hace condicionada a la cantidad de producción que genera la empresa 1: cuanto mayor sea la contaminación, menor será el soborno; así que modelamos el soborno como una función decreciente ().

El problema de optimización es

Mi pregunta es: ¿cómo han llegado a esos FOC?

ACTUALIZACIÓN:La segunda parte de esta optimización consiste en mirar el problema desde la perspectiva de la empresa 1, y es así: Ahora, analicemos el problema desde el punto de vista de la empresa 1. Una vez que la empresa víctima víctima hace su oferta de soborno condicional, la empresa 1 debe tenerla en cuenta. Así que sus beneficios deben ser así

Esto es de F.A.Cowell - Microeconomía - Principios y Análisis p.444-445

Answer 1

Para que sea completamente explícito: los superíndices que aparecen a continuación son índices que se refieren a cualquiera de las dos empresas $1$ o firme $2$ .

Las variables de elección en este problema son $\mathbf{q}^2$ y $\beta$ . Observe que $\mathbf{q}^2$ es un vector de $n$ cantidades. Es decir, $\mathbf{q}^2=\left(q_1^2,q_2^2,\ldots,q_n^2\right)$ .

$(13.9)$ es simplemente la derivada de la función objetivo $(13.8)$ con respecto a $q_i^2$ . Observe que puede reescribir la función objetivo $(13.8)$ como $$ p_1q_1^2+p_2q_2^2+\cdots+p_iq_i^2+\cdots+p_nq_n^2-\beta\left(q_1^1\right)-\mu_2\Phi^2\left(q_1^2,\ldots,q_i^2,\ldots,q_n^2 ,q_1^1\right) $$

Diferenciando esto con respecto a $q_i^2$ y ponerlo igual a $0$ nos da $$ p_i - \mu_2 \frac{\partial\Phi^2 \left( \mathbf{q}^2,q_1^1 \right)}{\partial q_i^2} = 0 $$

En la notación de Cowell, $\Phi^2_i$ es sólo la derivada de $\Phi^2$ con respecto a $q_i^2$ .

La segunda condición de primer orden es la derivada de la función objetivo con respecto a $\beta$ . Desde $\beta(\cdot)$ es una función decreciente de $q_1^1$ También podemos pensar en $q_1^1$ como función decreciente de $\beta$ . (Formalmente, $q_1^1$ es la inversa de $\beta$ que está bien definido ya que $\beta$ está disminuyendo. Intuitivamente, si la empresa $2$ condiciona su soborno a la firma $1$ de la empresa, entonces la empresa $1$ La elección de la salida de la empresa también depende de la cuantía del soborno).

Así, aplicando la regla de la cadena, la derivada del objetivo con respecto a $\beta$ es $$ -1 -\mu_2\frac{\partial\Phi^2 \left( \mathbf{q}^2,q_1^1 \right)}{\partial q_1^1} \frac{dq_1^1}{d\beta}=0 $$ que, por desgracia, no es lo mismo que en Cowell. Sin embargo, hay que tener en cuenta que $\frac{dq_1^1}{d\beta}<0$ por lo que quizás esté utilizando el valor absoluto de esa derivada para deshacerse del signo menos delante de $\mu_2$ .