Prueba del modelo DCF por inducción matemática

Question

Me siento seguro con el concepto de DCF. Sin embargo, quería comprobar la siguiente prueba, ya que si los inversores tienen una acción en $ t $ , véndelo en $t+1$ recibir dividendos $\ D_{t+1} $ y el precio en $t+1$ , $\ P_{t+1}$ . Además, el valor actual de la acción es el valor presente de todos los flujos de caja futuros (dividendos).

Tenga en cuenta que:

$\ D_{t+j} $ representa el dividendo en el período $ t+j $ $\ P_{t+j} $ representa el precio en el período $ t+j $

A partir de:

1) $\ P_t = \frac{D_{t+1}}{(1+k)} + \frac{P_{t+1}}{(1+k)} $

Hipótesis de inducción:

2) $\ P_{t+j} = \sum\limits_{s=1}^{j} \frac{D_{t+s}}{(1+k)^s} + \frac{P_{t+j}}{(1+k)^s} $ con $j > 1 $

Paso de inducción:

3) $\ P_{t+j+1} = \sum\limits_{s=1}^{j+1} \frac{D_{t+s}}{(1+k)^s} + \frac{P_{t+j+1}}{(1+k)^{s+1}} $

Ahora bien, me han proporcionado la prueba anterior que no me parece correcta. Mi duda es la siguiente: ¿por qué en 1 y 2 ¿el término de precio en el lado derecho es el valor presente del precio que estamos midiendo y no el PV del precio futuro? Lo mismo ocurre con los términos de los dividendos en la suma. Esto parece incoherente con 1 y contraintuitivo.

Cualquier ayuda para evaluar la corrección de la prueba anterior o para proporcionar una completamente nueva será muy apreciada. ¡También este es el primer post, feliz de unirse a la comunidad!

Answer 1

Sospecho que su hipótesis de inducción debería ser una expresión para $P_t$ no $P_{t+j}$ y debería descontar $P_{t+j}$ no $s$ veces pero $j$ veces, es decir

$$P_{t} = \left(\sum\limits_{s=1}^{j} \frac{D_{t+s}}{(1+k)^s}\right) + \frac{P_{t+j}}{(1+k)^j}$$

para $j \ge 1$ , lo que se reduce a su afirmación inicial $P_t = \frac{D_{t+1}}{(1+k)} + \frac{P_{t+1}}{(1+k)}$ cuando $j=1$

Ahora considere su declaración inicial sustituyendo $t$ por $t+j$ para dar $P_{t+j}= \frac{D_{t+j+1}}{(1+k)} + \frac{P_{t+j+1}}{(1+k)}$ y sustituir esto en su hipótesis de inducción para dar

$$P_{t} = \left(\sum\limits_{s=1}^{j+1} \frac{D_{t+s}}{(1+k)^s}\right) + \frac{P_{t+j+1}}{(1+k)^{j+1}}$$

lo que demuestra que la hipótesis de inducción corregida se desprende de su declaración original