¿Cómo crear un put sintético?

Question

He estado leyendo en la sección de Hull sobre el seguro de cartera a través de puts sintéticos.

Según tengo entendido, para replicar una opción de venta hay que replicar su delta. Procediendo, Hull afirma que

Para crear una opción de venta sintética, el gestor del fondo debe asegurarse de que en cualquier momento una proporción $$e^{qT}[1-N(d_{1})]$$ (delta) de las acciones de la cartera original se ha vendido y los ingresos se han invertido en los activos sin riesgo.

No estoy seguro de cómo se replica el delta y, además, la opción de venta.

Si alguien pudiera explicar más allá de lo que se ha escrito en Hull con un ejemplo, se agradecería mucho.

Answer 1

Como se puede ver en la wiki página el delta de una opción de venta es

$$\Delta = -e^{-qT}N(-d_1)= -e^{-qT} \left(1-N(d_1)\right)$$

Recordemos que este $\Delta$ es la derivada del valor de la opción de venta $p$ con respecto al valor de la acción subyacente $S$ : $\frac{\partial p}{\partial S}$ .

Esto significa que si el subyacente sube en 1, el precio de la opción de venta cambia en $\Delta$ . Claramente, se ve que para las puestas $\Delta \leq 0$ lo que significa que si el valor del subyacente sube, el valor de la opción de venta baja.

Digamos que tienes un activo $S_0=100$ y quieres replicar un put que tendría un $\Delta=-0.25$ , luego te vendes $0.25$ las acciones.

Digamos que el valor del día siguiente es $S_1 = 80$ :

Supongamos que tiene una cartera de $S$ y una puesta $p$ :

• Valor en $t=0$ : $S_0 + p_0 = 100 + p_0$
• Valor en $t=1$ : $S_1 + p_1 = S_1 + (S_1 - S_0 )\Delta + p_0 = 80 + (-20) \cdot (-0.25) + p_0 = 85+p_0$
• El PnL es $(85+p_0) - (100 + p_0) = -15$ .

Supongamos ahora que no se compra la opción de venta sino que se replica invirtiendo $\Delta$ de las acciones:

• Valor en $t=0$ : $S_0 + \Delta S_0 = (1+\Delta)S_0 = 0.75 \cdot 100 = 75$
• Valor en $t=1$ : $(1+\Delta)S_1 = 0.75 \cdot 80 = 60$
• El PnL es $-15$ también

Replicaste la opción (esa es la idea para que sea perfectamente correcta de hecho necesitas invertir los ingresos sin riesgo de hecho, eso es esencialmente porque $p_0$ no se mueve exactamente por $\Delta$ ).