No hay almuerzo gratis con riesgo acotado y desvanecido

Question

Estoy leyendo un libro en el que se dice que "No hay almuerzo gratis con riesgo acotado" de la siguiente manera

donde $\tilde{V}_t$ es el valor descontado de la cartera.Entonces establece el siguiente teorema

EMM es la medida de martingala equivalente.

Sin embargo, la Wikipedia expone el mismo teorema de la siguiente manera

¿Significa esto que las dos condiciones "No free lunch with bounded risk" y "No free lunch with vanishing risk" son equivalentes? Si es así, ¿cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Hay dos trabajos diferentes publicados por Freddy Delbaen y Walter Schachermayer en 1994.

Una versión general del teorema fundamental de la valoración de activos

Demuestran una versión general del primer teorema fundamental de la fijación de precios de los activos.

• Publicado en Mathematische Annalen
• Demuestran que NFLVR es equivalente a la existencia de al menos un EMM (``First FTAP''). Sin embargo, hay que diferenciar tres casos, según el proceso de precios $S$ que suponemos que es un semimartingale ( Wikipedia y tu libro de texto se refieren a diferentes versiones del mismo teorema. ):
• Si $S$ está acotada, entonces existe una medida equivalente bajo la cual $S$ es una martingala, véase Delbaen y Schachermayer (1994, Teorema 1.1).
• Si $S$ está acotada localmente, entonces existe una medida equivalente bajo la cual $S$ es una martingala local, véase Delbaen y Schachermayer (1994, Corolario 1.2).
• Si $S$ es ilimitada, entonces existe una medida equivalente bajo la cual $S$ es un sigma-martingale, véase Delbaen y Schachermayer (1998, Teorema 1.1).
• En la sección 6, se estudia la relación entre NFLBR, NFL y NFLVR. Lo esencial es que NFLVR es un caso especial de NFLBR. He aquí una cita del documento (página 501):

La diferencia entre (NFLVR) y (NFLBR) está ahora clara. En la propiedad de no con la propiedad de riesgo decreciente tratamos con secuencias tales que las partes negativas tienden a 0 uniformemente. En el caso de la propiedad de riesgo limitado, sólo requerimos que estas partes negativas tiendan a 0 uniformemente. riesgo acotado sólo requerimos que estas partes negativas tiendan a 0 en probabilidad y permanezcan uniformemente acotadas.

• Así, en general, NFLBR $\Rightarrow$ NFLVR.

La versión del FTAP de Delbaen y Schachermayer se encuentra entre las versiones más generales del primer FTAP. Las ideas originales se remontan a Ross (1978) y Harrison y Kreps (1979) .

Arbitraje y free lunch con riesgo acotado para procesos continuos no acotados

Dan dos ejemplos de semimartingales continuos, pero no limitados.

• Publicado en Finanzas Matemáticas
• Su primer ejemplo es un mercado con una ELMM única pero que permite estrategias de arbitraje (NA). Por lo tanto, el ELMM existe $\nRightarrow$ NA.
• Su segundo ejemplo es un mercado sin estrategias de arbitraje y sin un EMM. Sin embargo, NFLBR se satisface. Por lo tanto, NFLBR $\nRightarrow$ La EMM existe. Sin embargo, existe una medida de martingala local.
• Back y Pliska (1991) también dan un ejemplo de un mercado libre de arbitraje sin un EMM.