¿Cómo establecer el hamiltoniano para este problema de maximización de la utilidad?

Question

Consideremos un hogar representativo que acumula capitales, obtiene rentas de trabajo y de capital, consume parte de sus ingresos, compra bonos y paga impuestos.

El hogar maximiza su utilidad vitalicia

$$ \max_{c_t, l_t, k_t, b_t} \int_0^\infty e^{-\rho t} u(c_t, 1-l_t) dt $$

sometido a la restricción presupuestaria:

$$ \dot{k_t} + \dot{b_t} = w_t l_t + (R_t - \delta) k_t + r_t b_t - c_t - \tau_t $$

Variables endógenas:

1. $ c_t = $ consumos
2. $ l_t = $ trabajos
3. $ k_t = $ capitales
4. $ b_t = $ bonos

Variables exógenas:

1. $ \tau_t = $ impuestos
2. $ w_t = $ salario laboral
3. $ R_t = $ alquiler de capital
4. $ r_t = $ tipo de interés
5. $ \rho = $ tasa de descuento
6. $ \delta = $ tasa de depreciación

Quiero resolver este problema utilizando el método hamiltoniano. El problema es que hay dos variables de estado pero sólo una variable de coste.

Preguntas:

1. ¿He escrito correctamente la restricción presupuestaria?
2. ¿Cómo establecer el Hamiltoniano para este problema?
3. Cómo derivar $ R_t = r_t - \delta $ en este problema?

Answer 1

Yo soy el que pregunta. Después de buscar durante dos días, por fin he encontrado la respuesta.

El truco consiste en definir una nueva variable de control $ x_t = \dot{k_t} $ . Con esto podemos transformar la restricción original en dos nuevas limitaciones:

\begin{align} \dot{k_t} &= x_t \\ \dot{b_t} &= w_t l_t + (R_t - \delta) k_t + r_t b_t - c_t - x_t - \tau_t \end{align}

Ahora hay $3$ variables de control $c_t, l_t, x_t$ , $2$ variables de estado $k_t, b_t$ y $2$ por lo que debemos definir dos variables de coste $\lambda_t, \mu_t$ . El hamiltoniano es

\begin{align} \mathcal{H} = & e^{-\rho t} u(c_t, 1-l_t) + \lambda_t x_t + \\ & \mu_t [w_t l_t + (R_t - \delta) k_t + r_t b_t - c_t - x_t - \tau_t] \end{align}

El resto es el ejercicio estándar de resolver las ecuaciones hamiltonianas.