Anticipación de la integral estocástica $\int_0^T W_T dW_t$

Question

Utilizando técnicas básicas del cálculo de Malliavin se puede demostrar que $$ \int_0^T W_T dW_t = W_T^2 - T $$ Como puede verse, la integral anterior es una integral estocástica no adaptada.

También sabemos por medio de Ito que $$ 2 \int_0^T W_t dW_t = W_T^2 - T $$ desde $$ dW_t^2 = 2W_t dW_t + (dW_t)^2 $$

Pregunta 1:

¿Existe una forma directa de demostrar, es decir, sin utilizar el cálculo de Malliavin, es decir, sólo con técnicas más clásicas, que $$ \int_0^T W_T dW_t = 2 \int_0^T W_t dW_t $$ ?

Pregunta 2: Por qué $$ \int_0^T W_T dW_t \neq W_T \int_0^T dW_t $$ ? Me cuesta entender intuitivamente por qué no se puede tomar $W_T$ fuera de la integral.

En lo anterior, $W_t$ denota un movimiento browniano estándar.

EDITAR:

Por favor, vea Montero & Kohatsu-Higa, Una aplicación del cálculo de Malliavin a las finanzas para más detalles sobre el cálculo de Malliavin. En particular, he utilizado la fórmula (1) de su documento para derivar mi primera expresión anterior, donde para seguir su notación he puesto $F = W_T$ y $u_t = 1$ .

Answer 1

Así que buscamos la interpretación en términos de la integral de Ito, cuya definición, como sabemos por los comentarios que siguen, es en el sentido de proceso adaptado. Sin embargo, este no es el fin, uno puede extender la integral de Ito para procesos no adaptados -por ejemplo, Skorokhod que sustituye la condición de adaptabilidad por la de regularidad, y uno puede entender esta integral intuitivamente en términos de suma de Riemann y procesos escalonados. En esencia se puede extender la integral de Ito a procesos no adaptativos, los procesos tienen que satisfacer algunas condiciones, ¡pero no vamos a ir allí!

La respuesta a uno de ellos puede variar según la interpretación que se haga. He aquí una forma de hacerlo:

$\int_0^TW_TdW_t=\int_0^T\int_0^TdW_s\,dW_t$

$=2\int_0^T\int_0^tdW_s\,dW_t-\int_0^T{dW_s^2}$

$={2\int_0^T\int_0^t{dW_s\,dW_t}}-T$

Creo que debería ser igual a $2\int_0^TW_t\,dW_t+T$ en el sentido de Ito. Por otra parte, si se intenta una interpretación ligeramente diferente al aproximar la integral mediante la suma finita (pensemos en $n \to \infty$ en el sentido de la partición, etc.)

$\int_0^TW_TdW_t=\int_0^T\left(W_T-W_t\right)dW_t+\int_0^T W_tdW_t$

$={ \sum_{k=1}^{n}{\left( W_{t_{n}} - W_{t_{k}} \right) \Delta W_{t_{k}} }}+\int_0^T W_tdW_t$

$={ \sum_{k=1}^{n}{\left( W_{t_{n}} -W_{t_{k}}+W_{t_{k-1}}-W_{t_{k-1}} \right) \Delta W_{t_{k}} }}+\int_0^T W_tdW_t$

$={ \sum_{k=1}^{n}{\left( W_{t_{n}} -\Delta W_{t_{k}}-W_{t_{k-1}} \right) \Delta W_{t_{k}} }}+\int_0^T W_tdW_t$

$= W_{t_{n}}\sum_{k=1}^n{\Delta W_{t_{k}} }-\sum_{k=1}^n{\Delta W_{t_{k}}^2} -\sum_{k=1}^n W_{t_{k-1}}\Delta W_{t_{k}}+\int_0^T W_tdW_t$

$= W_{t_{n}}^2-\sum_{k=1}^n{\Delta W_{t_{k}}^2} $

$= W_{T}^2-T=2\int_0^TW_t\,dW_t$

Para entender intuitivamente la integral no adaptada (¡y adaptada!), ayuda pensar en aproximar el integrando por una secuencia de funciones escalonadas, y luego multiplicar los valores del proceso en cada intervalo por el incremento browniano, y sumar a través de los intervalos.

La P2 puede reformularse de la siguiente manera, y la respuesta debería desprenderse de lo anterior:

$$\int_0^T\int_0^TdW_s\,dW_t \neq \int_0^TdW_s \int_0^TdW_t?$$

Answer 2

Bien, basándome en la respuesta de Magic is in the chains, así es como lo interpreto intuitivamente. Tenemos la expresión $\int_0^TW_TdW_t$ que no está definida como una integral Ito ordinaria ya que el integrando $W_T$ no se adapta. Por lo tanto, dividimos el integrando como la suma de dos partes, una que se basa el pasado y el presente, $W_t$ y otra que se basa en acontecimientos futuros, $W_T - W_t$ .
La integral $\int_0^TW_t \,dW_t$ no nos da problemas ya que el integrando está adaptado. La otra integral $\int_0^TW_T - W_t \, dW_t$ sigue sin tener sentido como integral de Ito ya que no está adaptada.

Sin embargo, sabemos que el movimiento browniano es un proceso predecible. Así que tiene sentido utilizar ese hecho para dividir la diferencia $W_T - W_t$ en una suma telescópica en la que cada término tiene sentido en el límite (Al igual que hace Magic en la cadena con las funciones escalonadas). La expresión que obtenemos es algo que es la aproximación propia de una integral Ito y converge en el límite.

Sí, sé que lo que acabo de escribir es un poco vago, pero así es como interpreto la situación intuitivamente.