Demostración de la no sedimentación local en un espacio métrico arbitrario

Question

Tengo una economía de intercambio puro donde cada conjunto de consumo $X_i$ es no vacía y convexa y toda relación de preferencia $\succeq_{i}$ es estrictamente convexo. Se me pide que demuestre que las preferencias son localmente no saciadas en cualquier paquete de consumo diferente del único "punto de saciedad" (es decir, el paquete que es estrictamente preferido a todos los demás paquetes en el conjunto de consumo; ya he demostrado que el punto de saciedad, $x^*$ es único).

Hasta ahora lo he hecho:

Consideremos un $x_{i}\in X_{i}$ . Considere $\hat{x}:=\phi x_i+(1-\phi)x^*$ , $\phi\in(0,1)$ . Consideremos un $\epsilon>0$ . Ahora, elija $\phi$ tal que la distancia entre $\hat{x}$ y $x_{i}$ es menor que $\epsilon$ . Es decir, $\phi\in(0,1)$ tal que $\phi x_i+(1-\phi)x^*<\epsilon$ . Entiendo que $\phi<\frac{\epsilon+x_{i}-x^{*}}{x_{i}-x^{*}}$ . Debemos tener esa $\phi\in(0, \min\{1, \frac{\epsilon+x_{i}-x^{*}}{x_{i}-x^{*}}\})$ . Además, nótese que, por convexidad estricta, $\hat{x}\succ x_{i}$ .

Más allá de este punto estoy atascado. Cualquier orientación sería muy apreciada. Gracias.

Answer 1

En primer lugar, se necesita un espacio vectorial para que las combinaciones convexas estén bien definidas. Sin embargo, no todas las métricas sobre un espacio vectorial funcionan. De hecho, bajo la métrica discreta el resultado fallará trivialmente a menos que el espacio esté formado por el punto $0$ solo. Lo que funciona es una métrica en el espacio vectorial tal que las operaciones vectoriales de suma y multiplicación escalar son continuas. En realidad, no se necesita ninguna métrica y el resultado es válido para cualquier espacio vectorial topológico . Sin embargo, dudo que este sea el nivel de generalidad al que se planteó el problema.

De todos modos, este es el argumento: Dejemos que $x$ sea cualquier punto de $X_i$ que no es un punto de saciedad global (no hay necesariamente un punto de saciedad único porque podría no haber ningún punto de saciedad). Sea $x^*$ sea cualquier punto tal que $x^*\succ_i x$ . Dejemos que $x_n=(n-1)/n\, x+1/n\, x^*$ . Por convexidad estricta, $x_n\succ_i x$ para $n\ge 1$ . Por la continuidad de las operaciones vectoriales, $\lim_{n\to\infty} x_n=x$ . Por lo tanto, cada barrio o bola alrededor de $x$ contendrá un punto de la forma $x_n,$ que es estrictamente mejor. Por lo tanto, $\succeq_i$ es localmente no saturado.

Answer 2

Tengo una respuesta para si asumimos $X=\mathbb{R}^{2}_{+}$ .

Considere algunos $x:=(x_1, x_2) \in X$ , distinto del punto de saciedad ( $x^{*}:=(x_1^{*}, x_2^{*})$ ). Considere algunos $\epsilon>0$ . Por convexidad estricta, $x':=\bigg(\phi x_1+(1-\phi)x_1^{*}, \phi x_2+(1-\phi)x_2^{*}\bigg)\succ (x_1, x_2) $ para todos $\phi\in (0,1).$ A continuación, observe que $||x'-x||$ viene dada por $\sqrt{(x'_1-x_1)^2+(x_2'-x_2)^2}=\sqrt{(\phi x_1+(1-\phi)x_1^{*}-x_1)^2+(\phi x_2+(1-\phi)x_2^{*}-x_2)^2}$ . Elija $\phi$ tal que $(\phi x_1+(1-\phi)x_1^{*}-x_1)\leq \frac{\epsilon}{2}$ y $(\phi x_2+(1-\phi)x_2^{*}-x_2)\leq \frac{\epsilon}{2}$ (WLOG, suponemos que $x_1^*>x_1$ y $x_2^*>x_2$ para que $(\phi x_1+(1-\phi)x_1^{*}-x_1)$ y $(\phi x_2+(1-\phi)x_2^{*}-x_2)$ son estrictamente positivos). Esto requiere que $\phi \leq \frac{\frac{\epsilon}{2}+x_1-x_1^{*}}{x_1-x_1^{*}}$ y $\phi \leq \frac{\frac{\epsilon}{2}+x_2-x_2^{*}}{x_2-x_2^{*}}$ , equivalente, respectivamente, a $1-\frac{\epsilon}{2(x_1^*-x_1)}$ y $1-\frac{\epsilon}{2(x_2^*-x_2)}$ . Tenga en cuenta entonces que $||x'-x||\leq \frac{\epsilon}{\sqrt{2}}<\epsilon.$

Así, dado cualquier $x\in X$ y $\epsilon>0$ podemos encontrar algunos $x'$ según la definición anterior, con $\phi\in\bigg(0, \min\bigg\{1, 1-\frac{\epsilon}{2(x_1^*-x_1)},1-\frac{\epsilon}{2(x_2^*-x_2)} \bigg\}\bigg)—$ para que $x'\in B_\epsilon(x)—$ y tal que $x'\succ x$ .