Forma alternativa de calcular el BNE simétrico del juego

Question

Mi problema.

Considere la siguiente subasta para un solo objeto. Hay $n \geq 2$ licitadores. Presentan sus ofertas simultáneamente. El objeto se asigna al jugador que presenta la mayor oferta. Si la oferta del ganador es $b$ paga la cantidad $\alpha b$ donde $\alpha$ es un número positivo. Los perdedores no pagan nada. Los empates se rompen al azar, con probabilidades iguales entre todos los jugadores que presentan la mayor oferta. Las valoraciones de los postores por el objeto son información privada. En particular, cada jugador $i$ conoce su propia valoración $v_{i}$ que se distribuye uniformemente sobre el intervalo unitario. Las valoraciones se distribuyen independientemente entre los jugadores.

Construir la BNE simétrica del juego. (Supongamos que la estrategia de oferta $b :[0,1]$ $\rightarrow$ $\mathbb{R}$ es creciente).

Solución

Dejemos que $b :[0,1]$ $\rightarrow$ $\mathbb{R}$ R denota la estrategia de oferta de equilibrio. Entonces, para cada $v \in [0, 1]$ debemos tener:

$v=arg$ $max_{w}((v-\alpha b(w))w^{n-1}$

Calculamos las condiciones de primer orden en $v$ y obtener:

$-\alpha b^{'}(v)v^{n-1}+(n-1)(v-\alpha b(v))v^{n-2}=0$

Lo que podemos simplificar como:

$-\alpha b^{'}(v)v+(n-1)(v-\alpha b(v))=0$

La solución de esta ecuación diferencial es lineal: $b (v) = Av$ donde $A$ satisface

$-\alpha Av+(n-1)(v-\alpha Av)=0$

Por lo tanto, la estrategia de oferta de equilibrio es

$b(v)=\frac{n-1}{n \alpha}v$

¿Existe una forma alternativa de calcular el BNE para el problema presentado anteriormente?

Answer 1

Hay otra forma de calcular la BNE simétrica en el aumento de la estrategia .

Dejemos que $U(v)$ denotan la utilidad esperada de un jugador en equilibrio cuando su tipo es $v$ : Dado que la estrategia de oferta es creciente, un jugador con tipo $0$ obtendrá el bien con probabilidad cero.

Por lo tanto, debe ofertar cero y $U(0) = 0$ . Para cualquier otro $v > 0$ la probabilidad de que el jugador obtenga el bien es $Q (v) = v^{n-1}$ (es la probabilidad de que todos los demás jugadores tengan un tipo inferior a $v$ ) Por las clases de diseño de mecanismos, sabemos que:

$U(v) = U(0) + \int_{0}^{v} Q(x) \,dx = \int_{0}^{v} x^{n-1} \,dx = \frac{v^{n}}{n}$

Por otro lado, podemos escribir $U(v)$ como

$U(v)= (v-\alpha b(v)))v^{n-1}$

Por lo tanto,

$(v-\alpha b(v))v^{n-1} = \frac{v^{n}}{n}$

y

$b(v) = \frac{n-1}{n \alpha} v$