¿Por qué la volatilidad implícita de Bachelier está más sesgada que la de Black-Scholes?

Question

Encontré la siguiente explicación en un documento de Grunspan (ver documento adjunto página 6) pero tengo problemas para entenderla:

Al diferenciar la fórmula (3) con respecto a m, resulta que el sesgo de Black-Scholes $\frac{\partial\sigma_{LN}}{\partial m}$ en el dinero ( $m = 1$ ) generado por el modelo de Bachelier es $\frac{\partial\sigma_{LN}}{\partial m} = -\frac{1}{2}\frac{\sigma_N}{S}$ ( $\sigma_{LN}$ es por definición la volatilidad lognormal implícita). Por lo tanto, el modelo de Bachelier tiene una ATM muy sesgada (una pendiente de $50\%\times\frac{\sigma_N}{S}$ ). Otra forma de explicar esta característica es que, dados los precios de las llamadas, cuando utilizamos el modelo BS, la función $\sigma_{LN}$ es una función decreciente y convexa de $m$ es decir, genera una inclinación, mientras que la función $\sigma_N$ es una función bastante plana de $m$ . Así, la volatilidad normal es la más adecuada para productos como las swaptions, por ejemplo.

No estoy seguro de cuál es la fórmula (3), pero podría ser $\sigma_{LN} = \frac{1}{S}\frac{\ln m}{m-1}\sigma_N$ .

Mis dos preguntas son:

1. ¿Cómo obtiene la fórmula anterior, es decir $\frac{\partial\sigma_{LN}}{\partial m} = -\frac{1}{2}\frac{\sigma_N}{S}$ y lo que es más importante, ¿qué nos dice esto sobre las dos inclinaciones?
2. ¿No se trata de la pendiente del IV de Black-Scholes, ya que la pendiente de la volatilidad logarítmica normal es igual a ésta?

Por lo tanto, el modelo de Bachelier está muy sesgado ATM (una pendiente de $50\%\times\frac{\sigma_N}{S}$ ).

Aquí está el documento: Papel Grunspan

Answer 1

1. Puede tomar un derivado $\frac{\partial}{\partial m}\frac{\ln m}{m-1}$ en el punto $m=1$ Así, obtendrá $-\frac{1}{2}$ .
2. Sí, la volatilidad Black-Scholes es una volatilidad log-normal. En otros términos es la comparación de Black-Scholes IV y Bachelier IV.