La siguiente pregunta está tomada de Steven Shreve Volumen 1, Capítulo 1, Ejercicio $1.6$ (Cobertura de una posición larga-un periodo)
Consideremos un modelo de acciones binomial de un período con $S_0=4$ , $S_1(H)=8$ y $S_1(T)=2$ . El tipo de interés es $25$ %. Considere un banco que tiene una posición larga en la opción de compra europea emitida sobre el precio de la acción. La opción de compra vence en el momento uno y tiene un precio de ejercicio $K=5$ . Se determina que el precio del tiempo cero de esta llamada a ser $V_0=1.20$ . En el momento cero, el banco posee esta opción, que inmoviliza el capital $V_0=1.20.$ El banco quiere ganar el tipo de interés $25\%$ sobre este capital hasta el momento uno (es decir, sin invertir más dinero, e independientemente de cómo resulte el lanzamiento de la moneda, el banco quiere tener $$\frac{5}{4}\cdot 1.20 = 1.50$$ en el momento uno, después de recoger el pago de la opción (si la hay) en el momento uno). Especifique cómo debe invertir el operador del banco en los mercados de valores y monetarios para conseguirlo.
Mi intento:
Dejemos que $X_0, X_1$ sean los valores de la cartera en el momento cero y uno, respectivamente. De la pregunta, tenemos $$X_1(T)= X_1(H) = 1.50.$$ A partir de la ecuación de la riqueza, tenemos $$X_1(H) = \Delta_0S_1(H) + 3 +(1+r)(X_0-\Delta_0S_0 - 1.20),$$ $$X_1(T) = \Delta_0S_1(T) + 0+ (1+r)(X_0-\Delta_0S_0- 1.20).$$ Sustituyendo los valores adecuados, tenemos $$1.50 = 8\Delta_0 + 3 +\frac{5}{4}(X_0-4\Delta_0- 1.20),$$ $$1.50 = 2\Delta_0 + 0 +\frac{5}{4}(X_0-4\Delta_0- 1.20).$$ Resolviendo las 2 ecuaciones anteriores para $\Delta_0$ y $X_0$ lleva a $$\Delta_0 = -\frac{1}{2}, X_0= 1.20.$$ No sé cómo proceder a partir de aquí. ¿Es correcto mi intento anterior?
