Teoría de la subasta: Demostrar que el equilibrio encontrado es realmente óptimo

Question

He estado mirando la teoría de las subastas y en el libro Auction Theory de Krishna, hay una desigualdad (aparentemente simple) que no puedo seguir.

Contexto: dada una valoración privada $x$ se ha encontrado la estrategia óptima de licitación $\beta(x)$ . Ahora, el autor quiere demostrar que comportarse y ofertar como si fuera de tipo $z$ , $\beta(z)$ no aumenta los beneficios. Entonces, calculando la diferencia entre el beneficio en el óptimo y el beneficio si se comportara como si fuera del tipo $z$ conduce a la siguiente desigualdad. $G(x)$ siendo una distribución de probabilidad: $$\pi(\beta(x),x) - \pi( \beta(z),x) = G(z)(z-x) - \int_x^zG(y)dy \geq 0$$

Las funciones de beneficio se han calculado a partir de una subasta de primer precio, por si le sirve a alguien. Mi pregunta es por qué se mantiene la desigualdad. ¿Por qué es $G(z)(z-x) - \int_x^zG(y)dy$ ¿mayor que 0?

Espero que me puedan ayudar :)

Answer 1

$$ G(z) (z-x) = \int_x^z G(z) dy $$ y como $G$ está aumentando en $[x,z]$ el lado derecho es mayor que $\int_x^z G(y) dy$ .

Answer 2

Aunque ya existe una respuesta aceptada, hay otra forma de ver la optimalidad global, o más bien la misma forma con una formulación diferente.

Por construcción, $$\frac{\partial \pi}{\partial b}(b,x) = - G((\beta)^{-1}(b)) + (x-b) \frac{G'((\beta)^{-1}(b))}{(\beta)'((\beta)^{-1}(b))}\Bigg{|}_{b=\beta(x)}= 0,$$ donde $\frac{\partial \pi}{\partial b}(b,x)$ está aumentando en $x$ .

Ahora considere alguna oferta $\widehat b<\beta(x)$ . Por continuidad de $\beta$ hay un tipo $\widehat x<x$ tal que $\beta(\widehat x)=\widehat b$ . Por lo tanto, porque $\widehat x<x$ , $$\frac{\partial \Pi}{\partial b}(\widehat b,x) \geq \frac{\partial \Pi}{\partial b}(\widehat b, \widehat x) = \frac{\partial \Pi}{\partial b} (\beta(\widehat x),\widehat x) = 0. $$ Así, la utilidad esperada $\Pi( b,x)$ está aumentando en $b$ para todos $ b<\beta(x)$ . Análogamente, $\Pi(b,x)$ es decreciente para todos los $\widehat b'>\beta(x)$ .