Encontrar asignaciones eficientes de Pareto a través de problemas de planificadores sociales es un caso especial de escalarización en la optimización convexa.
Supongamos que las funciones de utilidad de los agentes son $u_i:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ , para $i = 1, 2, \cdots, m$ y las asignaciones factibles vienen dadas por $g(x) \geq 0$ para algunos $g:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^p$ . El resultado general es el siguiente.
Suficiencia en condiciones generales
Si una asignación $x$ resuelve el problema del planificador social con pesos sociales estrictamente positivos, entonces es Pareto. Esto es cierto sin supuestos sobre las funciones de utilidad y la restricción de viabilidad. En otras palabras, si $$ x \in \arg\max_{g(x') \geq 0} \sum_{i = 1}^m \lambda_i u_i(x'), \mbox{ for some } \lambda \in \mathbb{R}^m_{++}, \quad (*) $$ entonces es el óptimo de Pareto.
Esto es fácil de ver. Si $y$ Pareto-mejora $x$ entonces $$ \sum_{i = 1}^m \lambda_i u_i(y) > \sum_{i = 1}^m \lambda_i u_i(x) $$ para cualquier $\lambda \in \mathbb{R}^m_{++}$ . También es fácil ver que la entrada cero en $\lambda$ no puede permitirse haría que la declaración fuera falsa.
Lo contrario no es cierto en general: esta condición suficiente no es necesaria. Hay asignaciones de Pareto que no resuelven $(*)$ . Esto se debe a que el conjunto de valores de utilidad alcanzables $$ \mathcal{U} = \{ (u_1 (x), \cdots, u_m(x)); g(x) \geq 0 \} $$ no es en general un subconjunto convexo de $\mathbb{R}^m$ . Las ponderaciones del planificador social $\lambda$ corresponde a ciertos hiperplanos de apoyo de $\mathcal{U}$ . Si $\mathcal{U}$ no es convexa, su frontera de Pareto no puede recuperarse variando $\lambda$ .
Sin embargo, hay un parcial a la inversa.
Necesidad bajo concavidad
Supongamos que $u_i$ y $g$ son cóncavos. Si una asignación $x$ es Pareto, entonces resuelve un problema de planificación social con pesos sociales no negativos. En otras palabras, si $x$ es Pareto entonces $$ x \in \arg\max_{g(x') \geq 0} \sum_{i = 1}^m \lambda_i u_i(x') \mbox{ for some } \lambda \in \mathbb{R}^m_{+}. \quad (**) $$ Esto es cierto gracias a los conjuntos convexos y a los hiperplanos de separación.
Se trata de una inversión parcial porque es necesaria pero no suficiente. Hay asignaciones que resuelven $(**)$ pero no Pareto.
Comentario
Incluso bajo la concavidad, $(**)$ es sólo una inversión parcial de $(*)$ . Obsérvese la diferencia entre los pesos sociales estrictamente positivos y los no negativos.
Para recuperar la frontera de Pareto, el procedimiento general consiste en encontrar primero las soluciones de $(*)$ . A continuación, comprueba las soluciones de $(**)$ caso por caso para la optimización de Pareto. Alternativamente, también se puede tomar el cierre (los puntos límite) de las soluciones para $(*)$ .
