Muestra de la varianza de la cartera

Question

Dejemos que $w$ denotan un vector de pesos de la cartera, $r_i$ denotan el $i$ El vector de retorno, $\Sigma$ denotan la matriz de covarianza de $r_i$ y que $\hat{\Sigma}$ denotan el matriz de covarianza de la muestra de $r_i$ .

La varianza de la cartera viene dada por $$ \mathbf{Var}\left( w' r_i\right) = w' \mathbf{Var}\left( r_i\right) w = w' \Sigma w. $$ ¿Se mantiene para el muestra de la varianza de la cartera que $$ \widehat{\mathbf{Var}}\left( w' r_i\right) = w' \widehat{\mathbf{Var}}\left( r_i\right) w = w' \hat{\Sigma} w? $$

Answer 1

Sí, en efecto. Es un simple resultado de Álgebra Lineal y Expectativa:

Dada:

$Var(w'r) = \mathbb{E}[(w'r)^2] = \mathbb{E}[(w'rr'w)]$

Con $w$ y $r$ los vectores de pesos y rendimientos. Como $w$ es constante, se mantiene:

$\mathbb{E}[w'rr'w] = w'\mathbb{E}[rr']w$

La varianza de la muestra, $\hat{\Sigma}$ es un estimador de for $\mathbb{E}[rr']$ . Por lo tanto, sostiene lo que has dicho.