Propiedades del exponencial estocástico

Question

Dejemos que $\{X_t\}_{t \ge 0},\{Y_t\}_{t \ge 0}$ sea una semimartingala continua con $X_0 = Y_0 = 0$ , dejemos que ${\cal E}(X)$ para ser la solución única de:
$dZ_t = Z_t dX_t$ con $Z_0=1$ .

Podemos demostrar que ${\cal E}(X)_t = exp(X_t - \frac{1}{2}[X]_t)$ Pero, ¿cómo demostrar que ${\cal E}(X){\cal E}(Y) = {\cal E}(X+Y+[X,Y])$ donde $[XY]$ denota la covariación cuadrática entre $X_t$ y $Y_t$ . Le agradezco mucho su ayuda.

Answer 1

Dejemos que $dV_t = V_tdY_t$ . Consideraremos $d(VZ)_t$ . \begin{align} d(VZ)_t &= V_tdZ_t + Z_tdV_t + d[V,Z]_t \\ &= V_tZ_tdX_t + Z_tV_tdY_t + Z_tV_td[X,Y]_t \\ & = V_tZ_td(X + Y + [X,Y])_t \end{align} Utilicé la regla del producto anterior y también el hecho de que la integral estocástica es lineal en el integrador.

Tenemos $V_tZ_t = \mathcal{E}(X)\mathcal{E}(Y)$ . Por otro lado, $V_tZ_t = \mathcal{E}(X+Y+[X,Y])$ por el SDE anterior.