Ingresos fiscales maximizados y mano de obra extranjera

Question

Estoy lidiando con una tarea complicada, y no tengo idea de por dónde empezar.

La persona 1 vive en Dinamarca y tiene una función de utilidad dada por,

$$(1) \ \ u(c,l)=c-\frac{\eta}{\eta+1}(24-l)^{\frac{\eta+1}{\eta}}$$

Donde $\eta>0$, $c$ es el consumo y $l$ es el ocio.

El gobierno danés impone un impuesto a la persona, $t, 0 tal que su salario 'post-impuesto' viene dado por $w=\bar{w}(1-t)$. Los ingresos fiscales son dados por

$$(2) \ \ T=t\cdot \bar{w}\cdot S(w)$$

donde $S(w)$ es la oferta de trabajo y $\bar{w}$ es el salario.

Primero derivé el impuesto que produce los mayores ingresos fiscales, $t^*=\frac{1}{(1+\eta)}$.

Aquí viene el problema.

Supongamos que una segunda persona (Persona 2) con la misma función de utilidad está viviendo en Gales. Ella solo estará dispuesta a mudarse a Dinamarca (por ejemplo, cuando una gran empresa quiera importar mano de obra extranjera debido a las calificaciones) solo cuando pueda obtener una utilidad (después de impuestos) que sea mayor que $\bar{u}$. Supongamos que:

$$(3) \ \ \bar{u}>\frac{1}{\eta+1}\left(\frac{\eta}{1+\eta}\frac{\bar{w}}{p}\right)^{\eta+1}$$

Tengo que demostrar que el impuesto que maximiza los ingresos fiscales ($t^*$) es 'demasiado alto' para que la Persona 2 se mude a Dinamarca.

Entiendo que tengo que demostrar que la utilidad de la Persona 2 es mayor cuando vive en Gales, que si viviera en Dinamarca, ¿pero cómo?

Answer 1

Doy aquí el procedimiento pero con el precio $p=1$ puedes hacerlo tú mismo sin esa simplificación.

Configura Lagrange

$$\mathcal L(c,l,\lambda) = u(c,l) - \lambda (c-\bar w(1-t)(24-l)) $$

claramente

$$\frac{\partial \mathcal L }{\partial c} = \frac{\partial u}{\partial c} - \lambda = 1- \lambda$$

entonces $\lambda=1$ y la restricción es vinculante. Por lo tanto

$$c^\star = \bar w(1-t)(24-l^\star)$$

Además

$$\frac{\partial L}{\partial l} = (24-l)^{1/\eta} - \lambda \bar w (1-t) = 0$$ ya que $\lambda = 1$ se sigue que

$$l^\star = 24 - (\bar w(1-t))^\eta$$

insertando $l^\star$ y $c^\star$ en la función de utilidad, comenzando con $c^\star$ obtienes

$$\bar w(1-t)(24 - l^\star) - \frac{\eta}{\eta + 1}(24 - l^\star)^{\frac{\eta + 1}{\eta}}$$

luego $l^\star$ para obtener

$$\bar w(1-t)[\bar w(1-t)]^{\eta} - \frac{\eta}{\eta + 1}(\bar w(1-t))^{\frac{\eta(\eta + 1)}{\eta}},$$

reduce esto para obtener

$$(\bar w (1-t))^{\eta +1}[1/(\eta + 1)]$$

inserta el impuesto óptimo y obtén

$$\left(\bar w \frac{\eta}{\eta + 1}\right)^{\eta +1}[1/(\eta + 1)]$$