Cartera Beta Cero en R

Question

Estoy tratando de resolver el problema de la cartera cero en R. Dados n activos, la función objetivo es minimizar la varianza de la cartera $$Min_x\;\; \frac{1}{2}x^T\Sigma x$$ con sujeción a $$COV\left(x^T R, R^Tm \right) =0 $$ y $$x^T \mathbb{1}=1$$ y $$\mu^Tx \geq \tau$$ Dónde $x$ son las ponderaciones de la cartera, $\tau$ es un retorno requerido y $R_m$ es un índice de mercado representativo.

He visto el debate correspondiente aquí y el código proporcionado pero no se ajusta a la especificación anterior. ¿Es posible resolver ese problema con solve.QP o cualquier otra función?

Answer 1

Para ser honesto, estoy un poco confundido por su anotación, así que esta es una respuesta preliminar que borraré o modificaré dependiendo de sus respuestas.

Si $x^TR$ es un escalar determinista ¿cómo estás definiendo la covarianza?

Lo que creo que podrías estar definiendo es el caso discreto de la covarianza:

$$ Cov(x_iR_{m,i}, R_{m,j}) = \frac{1}{n} \sum_i (x_iR_{m,i} - E[x_iR_{m,i}]) (R_{m,i} - E[R_{m,i}]) = 0$$

En cuyo caso asumo que $R_{m,i}$ son valores fijos y conocidos, en cuyo caso esta restricción se reduce probablemente a una afín.

Answer 2

La beta de su cartera $\beta_P$ viene dada por $$ \beta_P = \sum_{i=1}^n w_i \beta_i. $$ Esto se desprende de la bilinealidad de la covarianza: $$ Cov(\sum_{i=1}^n w_i r_i, r_M) = \sum_{i=1}^n w_i Cov(r_i, r_M). $$

Por lo tanto, la restricción es lineal y se da arriba con la $\beta_i$ como constantes y los pesos son las variables que se quieren optimizar.

Supongo que la solución sólo será posible con una cartera long/short. Por lo tanto, si su $\mu$ es un vector positivo la condición de los valores esperados que tiene hará que el problema sea inviable.