Función de utilidad métrica del dinero: ¿Las restricciones presupuestarias se convierten en funciones de utilidad?

Question

Actualmente estoy leyendo sobre la "función de utilidad métrica del dinero" (también conocida como función de renta mínima o función de compensación directa).

Por definición se define como:

$$m(\text{p},\text{x})\equiv e(\text{p},u(\text{x}))$$

Hal Varian escribe en Microeconomic analysis (página 109):

es fácil ver que para un $\text{x}$ , $u(\text{x})$ es fijo, por lo que $m(\text{p},\text{x})$ se comporta exactamente como una función de gasto: es monótona, homogénea, cóncava en $\text{p}$ y así sucesivamente. Lo que no es tan obvio es que cuando $\text{p}$ es fijo, $m(\text{p},\text{x})$ es de hecho una función de utilidad.

La prueba es sencilla: para precios fijos, la función de gasto es creciente en el nivel de utilidad: si quieres un nivel de utilidad mayor, tienes que gastar más dinero. De hecho, la función de gasto es estrictamente creciente en $u$ para las preferencias continuas y locales no saturadas.

Por lo tanto, para el caso de la $\text{p}$ , $m(\text{p},\text{x})$ es una transformación monótona de la función de utilidad, por lo tanto, es en sí misma una utilidad.

¿Significa esto (la afirmación en negrita) que esencialmente convertimos la línea de restricción presupuestaria/presupuesto de nuestro consumidor en sus curvas de indiferencia cuando los precios son fijos?

Answer 1

$m(\mathbf p,\mathbf x)$ especifica la cantidad mínima de dinero necesaria para que un consumidor obtenga la misma utilidad que consumiendo el paquete $\mathbf x$ , tomando los precios $\mathbf p$ como se ha dado. En otras palabras, ya que todos los paquetes en la misma curva de indiferencia como $\mathbf x$ tienen el mismo valor de utilidad, y para alcanzar esta utilidad, se necesita al menos un ingreso de $m(\mathbf p,\mathbf x)$ Por lo tanto, podemos establecer una correspondencia unívoca entre los niveles de utilidad y los niveles de renta. Como la utilidad es ordinal, también podríamos utilizar la renta como medida de utilidad.

Sin embargo, esto no sugiere que la línea presupuestaria del consumidor se convierta en su curva de indiferencia; los dos siguen siendo objetos distintos. Para ver esto, consideremos un caso de dos bienes. Con precios fijos, la pendiente de la recta presupuestaria es $p_2/p_1$ que es constante para todo $\mathbf x$ 's. En cambio, la pendiente de las curvas de indiferencia es generalmente una función no constante sobre $\mathbf x$ : \begin{equation} \frac{\partial x_2}{\partial x_1}=\frac{\partial e(\mathbf p,u(\mathbf x))/\partial x_1}{\partial e(\mathbf p,u(\mathbf x))/\partial x_2}=\frac{MU_1(\mathbf x)}{MU_2(\mathbf x)}\,. \end{equation}

La función de utilidad de la métrica del dinero simplemente cambia la unidad de medida de la utilidad de utilidades a dólares, lo que es legítimo gracias a la ordinalidad de la utilidad. Sin embargo, no cambia los objetos matemáticos subyacentes de forma sustancial.