Supuestos del modelo de Ramsey Cass

Question

El campo de la economía se ha vuelto matemático y basado en modelos. Puedo entender la atracción del modelo pero no entiendo por qué introducimos ciertas suposiciones.

(De hecho, estoy intentando relajar las suposiciones del modelo, el modelo de Ramsey Cass Kooperman (RCK), solo como ejercicio, pero antes de poder relajarlas necesito saber por qué fueron importantes en primer lugar)

Entonces, en el contexto del modelo RCK ¿Por qué se toman las suposiciones de

1. Compacidad,

2. función dos veces continuamente diferenciable, y

3. homogeneidad (homotética).

¿Por qué son relevantes?

Sé que la homogeneidad produce rendimientos constantes a escala con la función de producción de Cobb Douglas y también implica homoteticismo. ¿Por qué necesitamos funciones homotéticas?

Answer 1

En la presentación a la que enlazó el OP, "compacidad" no se asume, sino que se deriva como resultado de propiedades más primitivas que se asumen, una de las cuales es la "diferenciabilidad dos veces" de las funciones involucradas.

La presentación trata con el modelo básico determinista de crecimiento en tiempo discreto. La función de producción per cápita en cada período es $g(k_t)$ para la cual se asume que es continua y diferenciable $g'>0,\;\; g''<0$. La ley de movimiento del capital es entonces

$$k_{t+1} = g(k_t) + (1-\delta)k_t -c_t$$

con $0<\delta<1$ siendo la tasa de depreciación. La secuencia comienza en algún valor inicial arbitrario y finito.

La presentación quiere mostrar la existencia y unicidad de la solución. Para lograr eso, en la página 6 primero se demuestra que el "conjunto de elección" está acotado -es decir, que el conjunto del cual los agentes económicos pueden elegir los niveles óptimos de consumo y capital no es todo $\mathbb R_+$.

Esto se demuestra considerando la secuencia maximal de niveles de capital, independientemente de consideraciones de optimización de utilidad. Si la secuencia maximal está acotada, significa que la secuencia óptima solo puede ser elegida de un conjunto acotado de valores.

La secuencia máxima de capital se obtiene si configuramos el consumo en cero: qué sucede cuando no consumimos nada y usamos todo nuestro capital existente y toda la nueva producción como capital solamente. Entonces tenemos la secuencia

$$k^{max}_{t+1} = g(k^{max}_{t}) + (1-\delta)k^{max}_{t}$$

Ahora que el consumo está configurado en cero, la secuencia de capital está gobernada por una ecuación no lineal de diferencia de primer orden. Una condición suficiente (aunque no necesaria) para que la secuencia máxima esté acotada es que esta ecuación de diferencia sea asintóticamente globalmente estable, es decir, si comenzamos desde cualquier punto inicial y convergimos a un punto fijo (no es necesario porque podríamos tener también oscilaciones acotadas y obtener una secuencia acotada).

El punto fijo de la secuencia de capital máxima satisface

$$k^{max}_*: k^{max}_{t+1}=k^{max}_{t} \implies g(k^{max}_*) = \delta k^{max}_* $$

Por la teoría estándar, la estabilidad global del punto fijo se logrará si la derivada de la ecuación de diferencia, evaluada en el punto fijo, es menor que la unidad en valor absoluto,

$$\left |\frac {\partial k^{max}_{t+1}(k^{max}_*)}{\partial k^{max}_{t}}\right| = g'(k^{max}_*)+1-\delta <1 \implies g'(k^{max}_*) < \delta$$

En el punto fijo, se cumple que

$$\frac {g(k^{max}_*)}{k^{max}_*} = \delta $$

Para la estabilidad del punto fijo queremos

$$g'(k^{max}_*) < \delta$$

Así que la estabilidad del punto fijo requiere

$$g'(k^{max}_*)<\frac {g(k^{max}_*)}{k^{max}_*}$$

o que "el producto marginal será menor que el producto medio". Bajo la suposición de que $g''<0$ en todas partes, esto también se cumplirá para el punto fijo. Por lo tanto, obtenemos estabilidad del punto fijo, y por lo tanto también convergencia y, por ende, acotamiento de la secuencia de capital máxima. Esto nos dice por qué asumimos diferenciabilidad de segundo orden: al tener la segunda derivada y hacer suposiciones al respecto, podemos determinar fácilmente si los puntos de equilibrio son únicos y cosas así. También hay que tener en cuenta que la diferenciabilidad de cualquier grado implica continuidad.

Si la secuencia de capital máxima está acotada, también lo estará cualquier otra secuencia de capital, y por lo tanto el conjunto de elección para el capital está acotado. Si lo está para el capital, también lo está para el consumo. Entonces, la ecuación de capital completa expresada como una desigualdad

$$k_{t+1} \leq g(k_t) + (1-\delta)k_t -c_t$$

define un conjunto (un conjunto unidimensional, un intervalo en la recta real) que es a) acotado inferiormente en cero (por la suposición de que el capital no puede ser negativo) b) acotado superiormente como se demostró c) puede alcanzar sus puntos límite. Así que es cerrado y acotado y por lo tanto compacto.

Más aún, asumimos que no hay "huecos" en él, que no hay valores "prohibidos" en este conjunto. Esto hace que el conjunto sea convexo.

Dadas estas propiedades (incluida la continuidad de la función de producción), por teoremas estándar estamos asegurados de que existe un máximo, es decir, una solución, y es única, lo cual es lo que la presentación quería probar en este punto.