Supuestos del modelo de Ramsey Cass

Question

El campo de la economía se volvió matemático y basado en modelos. Puedo entender el atractivo del modelo, pero no comprendo por qué introducimos ciertos supuestos.

(En realidad, estoy intentando relajar los supuestos del modelo, el modelo de Ramsey Cass Kooperman (RCK), sólo como ejercicio, pero antes de poder relajarlos necesito saber por qué eran significativos en primer lugar)

Entonces, en el contexto del modelo RCK ¿Por qué la suposición de

1.Compacidad,

2.dos veces función continuamente diferenciable, y

3. homogeneidad (homotética) se toman.

¿Por qué son relevantes?

Sé que la homogeneidad produce rendimientos constantes a escala con la función de producción de Cobb Douglas y lt también implica homotética. ¿Por qué necesitamos funciones homotéticas?

Answer 1

En la presentación a la que enlaza el OP, la "compacidad" no se asume, sino que se deriva como resultado de propiedades más primitivas que se asumen, una de las cuales es la "doble diferenciabilidad" de las funciones implicadas.

La presentación trata del modelo de crecimiento determinista básico variable en tiempo discreto. La función de producción per cápita en cada período es $g(k_t)$ para la que se supone que es continua y diferenciable $g'>0,\;\; g''<0$ . La ley del movimiento del capital es entonces

$$k_{t+1} = g(k_t) + (1-\delta)k_t -c_t$$

con $0<\delta<1$ siendo la tasa de depreciación. La secuencia comienza en algún valor inicial arbitrario y finito.

La presentación quiere mostrar la existencia y la unicidad de la solución. Para ello, en la página 6 demuestra primero que el "conjunto de elección" está acotado -es decir, que el conjunto entre el que los agentes económicos pueden elegir los niveles óptimos de consumo y capital es no todo el $\mathbb R_+$ .

Esto se demuestra considerando el máximo secuencia de niveles de capital, independientemente de las consideraciones de optimización de la utilidad. Si la secuencia máxima está acotada, significa que la secuencia óptima sólo puede elegirse entre un conjunto acotado de valores.

La secuencia máxima de capital se obtiene si fijamos el consumo en cero: lo que ocurre cuando no consumimos nada y utilizamos todo nuestro stock de capital y toda la nueva producción como capital solamente. Tenemos entonces la secuencia

$$k^{max}_{t+1} = g(k^{max}_{t}) + (1-\delta)k^{max}_{t}$$

Ahora que el consumo se fija en cero, la secuencia de capital se rige por una ecuación de diferencia de primer orden no lineal. Una condición suficiente (aunque no necesaria) para que la secuencia máxima esté acotada es que esta ecuación en diferencia sea asintóticamente estable a nivel global, es decir, si partiendo de cualquier punto inicial convergemos a un punto fijo (no es necesario porque podríamos tener también oscilaciones acotadas y obtener una secuencia acotada).

El punto fijo de la secuencia de capitales máximos satisface

$$k^{max}_*: k^{max}_{t+1}=k^{max}_{t} \implies g(k^{max}_*) = \delta k^{max}_* $$

Según la teoría estándar, la estabilidad global del punto fijo se obtendrá si la derivada de la ecuación en diferencia, evaluada en el punto fijo, es menor que la unidad en valor absoluto,

$$\left |\frac {\partial k^{max}_{t+1}(k^{max}_*)}{\partial k^{max}_{t}}\right| = g'(k^{max}_*)+1-\delta <1 \implies g'(k^{max}_*) < \delta$$

En el punto fijo, se cumple que

$$\frac {g(k^{max}_*)}{k^{max}_*} = \delta $$

Para la estabilidad del punto fijo queremos

$$g'(k^{max}_*) < \delta$$

Así que la estabilidad del punto fijo requiere

$$g'(k^{max}_*)<\frac {g(k^{max}_*)}{k^{max}_*}$$

o que "el producto marginal será menor que el producto medio". Bajo el supuesto de que $g''<0$ en todas partes, esto también será válido para el punto fijo. Por lo tanto, obtenemos la estabilidad del punto fijo, y por lo tanto también la convergencia y la acotación de la secuencia del capital máximo. Esto nos dice por qué asumimos la diferenciabilidad de 2º orden: al tener la 2ª derivada y hacer suposiciones sobre ella, podemos determinar fácilmente si los puntos de equilibrio son únicos y cosas por el estilo. Nótese también que la diferenciabilidad de cualquier grado implica continuidad.

Si la secuencia de capital máxima está acotada, también lo estará cualquier otra secuencia de capital y, por tanto, el conjunto de elección del capital está acotado. Si lo es para el capital, también lo es para el consumo. Entonces, la ecuación completa del capital expresada como una desigualdad

$$k_{t+1} \leq g(k_t) + (1-\delta)k_t -c_t$$

define un conjunto (un conjunto unidimensional, un intervalo en la recta real) que está a) acotado por debajo en cero (por la suposición de que el capital no puede ser negativo b) acotado por encima como se ha demostrado c) puede alcanzar sus puntos límite. Por tanto, es cerrado y acotado y, por lo tanto compacto .

Además, suponemos que no hay "agujeros" en él, que no hay valores "prohibidos" en este conjunto. Esto hace que el conjunto sea convexo.

Dadas estas propiedades (incluida la continuidad de la función de producción), por los teoremas estándar se asegura que existe un máximo, es decir, una solución, y que ésta es única, que es lo que la presentación quería demostrar en este punto.