Dinámica del precio de los bonos en el modelo Vasicek

Question

Hola estoy estudiando sobre la modelización de los tipos de interés

Hay una buena fuente sobre Vasicek (enlace: https://web.mst.edu/~bohner/fim-10/fim-chap4.pdf ). Sin embargo hay una ecuación que intento pero no puedo replicar que es:

$dP(t,T) = r(t)P(t,t)dt - \sigma B(t,T)P(t,T)dW(t)$

Esta ecuación en la segunda página (o en la página 18 según la paginación del documento). Se localiza alrededor de 1/3 de la página de arriba hacia abajo. ¿Alguien entiende cómo se obtiene ésta? Lo que me bordea es por qué hay $B(t,T)$ aparecer. Lo he intentado pero no he podido obtener ese resultado.

Además, la pregunta lateral es por qué en el proceso estocástico de los tipos de interés siempre se expresa bajo el riesgo neutral $\mathbb{Q}$ por qué el precio tradicional de las acciones S suele expresarse en $\mathbb{P}$

Muchas gracias

Answer 1

Sabes que la fórmula del precio del bono tiene esta forma:

$P \left( t, T \right)= A \left( t, T \right) e^{ -r_{t} B \left(t, T \right) }$

Ahora aplique el lema de Ito, por lo que obtendrá después de algunas manipulaciones:

$\frac{dP}{P}= \left(\frac{1}{A} \frac {\partial A}{\partial t} -r \frac {\partial B}{\partial t} - \kappa \theta B + \kappa r B+ \frac{1}{2} B^2 {\sigma}^2\right) dt - \sigma B d w_{t}$

La rentabilidad esperada bajo la medida de riesgo neutral debe ser r, por lo que se puede establecer el término de deriva igual a r, y se obtiene la ecuación.

No creo que sea necesario representar la medida neutra de riesgo con Q, pero Q se ha convertido en una especie de convención. Probablemente se originó por el hecho de que la gente utiliza P para representar la probabilidad, y luego utiliza la siguiente letra Q, para denotar la siguiente medida de la que se quiere hablar.