Insumos de producción óptimos en relación con el problema de minimización de costes

Question

Estaba haciendo mis deberes y me confundí mucho sobre cómo enfocar los niveles óptimos de insumos cuando hay tres variables. Mi comprensión actual es que el problema consiste en resolver el problema de optimización

$$\min_{H, L, K}\;{sH + wL +rK}$$ con sujeción a $$q = \min\{H,L\} + \min\{H,K\}$$

Sin embargo, no sé cómo determinar las entradas de H, L y K. A continuación se presenta el problema:

Un monopolista puede contratar mano de obra altamente cualificada $H$ , mano de obra poco cualificada $L$ y robots $K$ . El precio por unidad de estos insumos es $s$ , $w$ y $r$ . La mano de obra altamente cualificada es más cara: $s > w$ . La función de producción es $f(H, L, K) = \min\{H, L\} + \min\{H, K\}$ . La curva de demanda a la que se enfrenta el monopolista es $D(p) = A-p$ , donde $A > w + r + s$ . Supongamos que los robots son baratos: $r < w + s$ .

Esencialmente, se nos pide que encontremos los niveles óptimos (que produzcan los menores costes) de entrada en términos de q para H,L,K

Inicialmente pensé que como $r<w+s$ y $w<s$ podemos deducir que $r<s+s$ y por ello, la función de producción daría $q = H+K$ , $q = L+H$ o $q = L+K$ (haciendo $H+H$ la única combinación imposible). Sin embargo, estoy súper inseguro si este es el proceso de pensamiento correcto, y no sé cómo proceder desde aquí.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Te propongo que sigas estos pasos:

1. Establezca el problema de minimización de costes ( es decir para una cantidad de producción determinada $y$ minimizar los costes): \begin{align} \min_{H,L,K}& \quad sH + wL + rK \tag{1} \label{1}\\ \text{such that} &\quad \min\{H,L\} + \min\{H, K\}\geq y \tag{2} \label{2} \end{align}

2. En principio tienes 3 casos, dependiendo del precio de los factores $(s,w,r)$ .

   1) Cuando $r>s+w$ y luego comprar una unidad de $L$ y una de $H$ te va a costar estrictamente menos que comprar una unidad ok $K$ . En consecuencia, el monopolista opta por producir sólo con $H$ y $L$ ( $K=0$ ). Así, $H = L = y$

2) El segundo caso se da para $s>r+w$ que es, de todos modos, descartado por la asunción $w>s$ (si este no fuera el caso, entonces producir sólo usando $H$ y $K$ habría sido óptimo, es decir $H = K = y$ y $L = 0$ ).

3) Por último, cuando no ocurre nada de lo anterior, tiene $L = H$ y $K = H$ debido a la función de producción de proporciones fijas. Entonces la restricción \eqref {2} se convierte en $H + H \geq y$ y el signo de desigualdad se convierte en igualdad. El signo de igualdad proviene del hecho de que producir más de $y$ (el LHS de \ref {2} siendo estrictamente mayor que el RHS) es sólo un exceso de producción e infla los costes de producción para un dado $y$ . $L = H$ y $K = H$ proviene del Producción de Leontief configuración del problema: dentro de la $\min\{...,...\}$ nunca es conveniente explotar más uno de los dos factores (porque disminuyendo el factor más utilizado se sigue obteniendo la misma cantidad de producción pero con un coste menor). Por lo tanto, cada uno de los dos $\min\{...,...\}$ puede ser visto simplemente como uno de sus argumentos internos, es decir, por conveniencia, $H$ . Así que finalmente consigues $H+H = y$ y, a partir de ahí: $H = y/2$ y $L = K = y/2$

3. Sustituir los valores óptimos ${\big(H^*\small{(s,w,r)},L^*\small{(s,w,r)},K^*\small{(s,w,r)}\big)}$ en \eqref {1} por lo que para obtener una expresión sólo en $(s,w,r)$ . Esta expresión es la función de coste $C(s,w,r,y)$
4. Resuelva ahora el problema de precios del monopolista para unos precios de los factores dados: \begin{equation} \max_p \quad p\cdot D(p) - C\big(s,w,r,D(p)\big) \end{equation} y encontrar el precio que maximiza el beneficio, $p^*$ para el nivel de salida $y^* = D(p^*)$

Espero que esto te ayude, comenta abajo si necesitas alguna otra pista.

Answer 2

@GabMac, no creo que L=H, K=H se mantenga siempre dada esta función. Creo que L=H, K=H se mantiene debido a la desigualdad r < w + s. Si r > w + s, el productor siempre producirá sólo en H,L y K=0 aunque la función de producción mantenga proporciones fijas. La respuesta es correcta pero creo que sólo el razonamiento para modificar la función de producción es erróneo. Así, L=H,K=H debido a la desigualdad dada r < w + s.