Prueba de la cuasiconcavidad de la función de utilidad

Question

¿Cómo puedo demostrar que la función $u(x_1,x_2)=(x_1x_2)^\alpha$ es cuasicóncava, dado $\alpha>1,x_i\geq0$ ?

Me las arreglé para encontrar el Hessian bordeado, por lo que

$(-1)^1B_1=\alpha^2(x_1x_2)^{2(\alpha-1)}x^2_2\geq0$

y

$(-1)^2B_2=0\geq0$ .

Sin embargo, eso sólo proporciona una condición necesaria para la cuasiconcavidad.

¿Es posible mostrar la cuasicavidad a partir de su definición, es decir, $u(ax_1+(1-a)y_1,ax_2+(1-a)y_2)\geq \textrm{min}\{u(x_1,x_2),u(y_1,y_2)\}$ ?

Answer 1

¿Es posible mostrar la cuasicavidad a partir de su definición, es decir, $u(ax_1+(1-a)y_1,ax_2+(1-a)y_2)\geq \textrm{min}\{u(x_1,x_2),u(y_1,y_2)\}$ ?

Respuesta: Sí.

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Un truco útil que puede ahorrarte algunos problemas es realizar una transformación monótona. En términos de relación de preferencia se trata de mostrar

$$ \left( ax_1+(1-a)y_1,ax_2+(1-a)y_2 \right) \succeq \left[ (x_1,x_2) \text{ OR } (y_1,y_2) \right]. $$

Si esto se cumple para la representación de la utilidad $(x_1x_2)^{\alpha}$ También se mantendrá para las transformaciones monótonas de esta función (la ordenación de las cestas no cambia).

Es evidente que existe una función más elegante para representar la relación, lo que facilita los cálculos matemáticos.

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Alternativamente, usted puede hacer uso de la energía y hacer algunas suposiciones, como $u(x_1,x_2) \leq u(y_1,y_2)$ . La función es claramente monótona, por lo que se ahorra el examen de los casos en los que $x_1 \leq y_1$ Y $x_2 \leq y_2$ . Sólo queda por comprobar (w.o.l.) el caso en que $x_1 < y_1$ , $x_2 > y_2$ .