Aplicación del muestreo estratificado en Monte Carlo

Question

Antecedentes

Estoy tratando de implementar la simulación de Monte Carlo con muestreo estratificado para la opción de barrera bajo el modelo de Black Scholes. Entiendo que hay una fórmula analítica para este instrumento y podemos simular directamente la integración desde el tiempo 0 hasta el vencimiento porque tenemos la distribución del precio de las acciones bajo este modelo. Sin embargo, me gustaría simularlo con un paso diario, es decir, haciendo un bucle $S_{t_i} = S_{t_{i-1}}e^{(r-\frac{1}{2}\sigma^2)(t_i - t_{i-1})+\sigma\sqrt{(t_i - t_{i-1})}X}, X\sim N(0,1)$

Notas de clase encontradas en google

Estoy tratando de implementar Directriz de Martin Haugh . Al aplicar el "Resultado 2" de la página 52, tenemos

$\vec{a} = (1,1,...,1)^T$ (vector columna), Entonces tenemos $\vec{V} = w\vec{a} + MVN(\vec{0},I_m - \vec{a}\vec{a}^T)$

Pregunta

1. $I_m - \vec{a}\vec{a}^T$ no es simétrico positivo semidefinido.
2. ¿Por qué tenemos $\Sigma = I_m - \vec{a}\vec{a}^T$ ?

Gracias.

Answer 1

Su vector $a=(1,\ldots,1)^T$ no satisface

$$\| a \|^2=a_1^2 + \ldots + a_m^2=1, $$

como suponen los autores en el resultado 2.

(Q1) Para $m=2$ vemos que es necesario cuando se calculan los valores propios de $I_2 - aa^T$ , es decir, las raíces $\lambda$ de la ecuación

$$ 0=\det \begin{pmatrix} 1-\lambda- a_1^2 & -a_1 a_2 \\ -a_1 a_2 & 1-\lambda- a_2^2 \end{pmatrix} = (1-\lambda)(1-\lambda - a_1^2 -a_2^2).$$

Obtenemos $\lambda_1 = 1$ y $\lambda_2 = 1- a_1^2 -a_2^2$ que debe ser no negativo (como $I_2 - aa^T$ es semidefinido positivo). Con tu vector obtendrías $\lambda_2 = -1$ .

(Q2) La misma propiedad, $a_1^2 +a_2^2=1$ permite:

$$ (a^Ta)^2 = \begin{pmatrix} a_1^4+a_1^2 a_2^2 & -a_1^3 a_2 -a_1 a_2^3 \\ -a_1^3 a_2 -a_1 a_2^3 & a_1^4+a_1^2 a_2^2 \end{pmatrix}$$ $$=(a_1^2 +a_2^2)\begin{pmatrix} a_1^2 & -a_1 a_2 \\ -a_1 a_2 & a_2^2 \end{pmatrix} =a^Ta$$

Esto a su vez da:

$$ (I_2-a^Ta)(I_2-a^Ta)^T = (I_2-a^Ta)(I_2-aa^T) $$

$$= I_2 - a^Ta -a^Ta + (a^Ta)^2 = I_2 - a^Ta$$

Así, para $\Sigma:= I_2 - a^Ta$ que tenemos:

$$ \Sigma = \Sigma \Sigma^T$$

que proporciona una de las matrices que respetan la igualdad:

$$ \Sigma = CC^T.$$ Es decir $\Sigma$ sí mismo: $$C= \Sigma.$$