Estática comparativa: Efecto de los ingresos

Question

Gran parte de esto es la configuración del problema. Así que, si estás familiarizado, lo mejor es que empieces desde abajo y vayas subiendo si es necesario. La pregunta se refiere a los ingresos y al efecto de sustitución.

Configuración máxima restringida donde $U = U(x,y) = (x+2)(y+1)$ con $U_x, U_y > 0$ y sujeto a una restricción presupuestaria: $x P_x + y P_y = B$ .

Las identidades estáticas comparativas: $$\begin{array}{r}B-x^{*} P_{x}-y^{*} P_{y} \equiv 0 \\ U_{x}\left(x^{*}, y^{*}\right)-\lambda^{*} P_{x} \equiv 0 \\ U_{y}\left(x^{*}, y^{*}\right)-\lambda^{*} P_{y} \equiv 0\end{array}$$ Tomo los diferenciales totales, $$\begin{aligned}-P_{x} d x^{*}-P_{y} d y^{*} &=x^{*} d P_{x}+y^{*} d P_{y}-d B \\-P_{x} d \lambda^{*}+U_{x x} d x^{*}+U_{x y} d y^{*} &=\lambda^{*} d P_{x} \\-P_{y} d \lambda^{*}+U_{y x} d x^{*}+U_{y y} d y^{*} &=\quad \lambda^{*} d P_{y} \end{aligned}$$ entonces para el efecto de $P_x$ , establecemos $dP_y = dB = 0$ y $dP_x \neq 0$ y dividir las tres ecuaciones por $dP_x$ . Con la regla de Cramer sobre $$\left[\begin{array}{ccc}0 & -P_{x} & -P_{y} \\ -P_{x} & U_{x x} & U_{x y} \\ -P_{y} & U_{y x} & U_{y y}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\left(\partial \lambda^{*} / \partial P_{x}\right) \\ \left(\partial x^{*} / \partial P_{x}\right) \\ \left(\partial y^{*} / \partial P_{x}\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x^{*} \\ \lambda^{*} \\ 0\end{array}\right]$$ obtenemos $$\begin{aligned}\left(\frac{\partial x^{*}}{\partial P_{x}}\right) &=\frac{1}{|J|}\left|\begin{array}{ccc}0 & x^{*} & -P_{y} \\ -P_{x} & \lambda^{*} & U_{x y} \\ -P_{y} & 0 & U_{y y}\end{array}\right| \\ &=\frac{-x^{*}}{|J|}\left|\begin{array}{ll}-P_{x} & U_{x y} \\ -P_{y} & U_{y y}\end{array}\right|+\frac{\lambda^{*}}{|J|}\left|\begin{array}{cc}0 & -P_{y} \\ -P_{y} & U_{y y}\end{array}\right| \\ & \equiv T_{1}+T_{2} \quad\left[T_{i} \text { means the } i \text { th term }\right] \end{aligned}$$ En primer lugar, se demostró que al fijar la pérdida de ingresos efectiva de un cambio en $P_x$ a cero: es decir, en la primera ecuación de la diferencial total de abajo ponemos $x^* dP_x = 0$ compensamos el efecto de la renta y obtenemos: $$\left(\frac{\partial x^{*}}{\partial P_{x}}\right)_{\text {compensated }}=\frac{1}{|J|}\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & -P_{y} \\ -P_{x} & \lambda^{*} & U_{x y} \\ -P_{y} & 0 & U_{y y}\end{array}\right|=\frac{\lambda^{*}}{|J|}\left|\begin{array}{cc}0 & -P_{y} \\ -P_{y} & U_{y y}\end{array}\right|=T_{2}$$ Y puede expresar la derivada: $\left(\frac{\partial x^{*}}{\partial P_{x}}\right)=T_{1}+T_{2}=\underbrace{-\left(\frac{\partial x^{*}}{\partial B}\right) x^{*}}_{\text {income effect }}+\underbrace{\left(\frac{\partial x^{*}}{\partial P_{x}}\right)_{\text {compensated }}}_{\text {substitution effect }}$

Pregunta de texto: Al estudiar el efecto de $dP_x$ solo, la primera ecuación (de los diferenciales totales) se reduce a $-P_{x} d x^{*}-P_{y} d y^{*}=x^{*} d P_{x}$ y cuando compensamos la pérdida de ingresos efectiva del consumidor con la caída de $x^{*} d P_{x}$ la ecuación se convierte en $-P_{x} d x^{*}-P_{y} d y^{*}=0$ . Demostrar que el último resultado se puede obtener a partir de un procedimiento de compensación en el que mantenemos el nivel de utilidad óptimo del consumidor $U^*$ (en lugar de la renta efectiva) sin cambios, por lo que el término $T_2$ puede interpretarse como $(\partial x^{*} / \partial P_x)_{U^* = \text{constant}}$ [Sugerencia: Utilizar $\frac{U_{x}}{U_{y}}=\frac{P_{x}}{P_{y}}$ ]

Respuesta de texto: La utilidad óptima es $U^{*}=U^{*}\left(x^{*}, y^{*}\right)$ . Así, $d U^{*}=U_{x} d x^{*}+U_{y} d y^{*}$ donde $U_x, U_y$ evaluado en el punto óptimo. Cuando $U^*$ constante, tenemos $dU^* = 0$ o $U_{x} d x^{*}+U_{y} d y^{*}=0$ . A partir de la expresión anterior para $\left(\frac{\partial x^{*}}{\partial P_{x}}\right)$ tenemos $\frac{U_{x}}{U_{y}}=\frac{P_{x}}{P_{y}}$ . Así, podemos expresar $d U^{*}=0$ por $P_{x} d x^{*}+P_{y} d y^{*}=0$ o $-P_{x} d x^{*}-P_{y} d y^{*}=0$

Q: ¿Cómo es exactamente $0 =\boldsymbol{U}_{x} d x^{*}+\boldsymbol{U}_{y} d y^{*}$ se convierten en $-P_{x} d x^{*}-P_{y} d y^{*}=0$ ?

Answer 1

Tomando el cociente de las ecuaciones segunda y tercera reordenadas de

Las identidades estáticas comparativas: $$\begin{array}{r}B-x^{*} P_{x}-y^{*} P_{y} \equiv 0 \\ U_{x}\left(x^{*}, y^{*}\right)-\lambda^{*} P_{x} \equiv 0 \\ U_{y}\left(x^{*}, y^{*}\right)-\lambda^{*} P_{y} \equiv 0\end{array}$$

obtenemos $$\frac{U_{x}\left(x^{*}, y^{*}\right)}{U_{y}\left(x^{*}, y^{*}\right)} = \frac{P_x}{P_y}. \tag{MRS}$$ (Esta es una condición muy famosa en microeconomía, siendo la LHS la tasa marginal de sustitución).

Multiplicando $$0 = U_{x} d x^{*}+U_{y} d y^{*}$$ por $$-\frac{P_x}{U_x}$$ obtenemos $$0 = -P_x d x^{*} - \frac{P_x}{\frac{U_x}{U_y}} d y^{*}.$$ De la ecuación (MRS) anterior se deduce que $$P_y = \frac{P_x}{\frac{U_x}{U_y}},$$ así $$0 = -P_{x} d x^{*}-P_{y} d y^{*}.$$