Supongamos que la cartera de mercado está formada por n activos. Dado que la rentabilidad de la cartera de mercado puede escribirse como $r_m = \sum_{j=1}^{n} w_jr_j$ tenemos que $\sigma^2_m = E(\sum_{j=1}^{n} w_jr_j - E(\sum_{j=1}^{n} w_jr_j))^2$ Pero, ¿cómo puedo demostrar que $$E(\sum_{j=1}^{n} w_jr_j - E(\sum_{j=1}^{n} w_jr_j))^2 = \sum_{j=1}^{n} w_jCov(r_j,r_m)$$ ? Si demuestro que la ecuación anterior es verdadera, entonces puedo afirmar que $$E(\sum_{j=1}^{n} w_jr_j - E(\sum_{j=1}^{n} w_jr_j))^2 = \sum_{j=1}^{n} w_jCov(r_j,r_m) = \sum_{j=1}^{n} w_j\beta\sigma^2_m$$
Así es como intento demostrar el resultado. Sabemos que:
$$\sigma^2_m = E(\sum_{j=1}^{n} w_jr_j - E(\sum_{j=1}^{n} w_jr_j))^2= E[(w_jr_j)^2]-E^2[w_jr_j]$$
En consecuencia, podemos demostrar que:
$$\sum_{j=1}^{n} w_jCov(r_j,r_m) = E[(w_jr_j)^2]-E^2[w_jr_j]$$
Ahora: $\sum_{j=1}^{n} w_jCov(r_j,r_m) = \sum_{j=1}^{n} w_jE[r_jr_m]-\sum_{j=1}^{n} w_jE[r_j]E[r_m]=\sum_{j=1}^{n} w_jE[r_j\sum_{j=1}^{n} w_jr_j]-\sum_{j=1}^{n} w_jE[r_j]E[\sum_{j=1}^{n} w_jr_j]=\sum_{j=1}^{n} w_jE[\sum_{j=1}^{n} w_jr_j^2]-E[\sum_{j=1}^{n} w_jr_j]E[\sum_{j=1}^{n} w_jr_j]$
Parece que no puedo probar el resultado porque $$\sum_{j=1}^{n} w_jE[\sum_{j=1}^{n} w_jr_j^2] \neq E[(w_jr_j)^2]$$
¿Puede ayudarme, por favor?
