Derivación de las ponderaciones de la cartera de media-varianza como solución analítica de forma cerrada a partir de las ecuaciones de Lagrange

Question

Estoy tratando de encontrar una solución de forma cerrada para el problema MVO restringido a continuación.

$\max_w w'\mu - \frac{\lambda}{2}w'\Sigma w$
s.t. $w'$ 1 \= 1

El Lagrange para el objetivo es $L(w, \gamma) = w'\mu - \frac{\lambda}{2}w'\Sigma w -\gamma(w'$ 1 - 1).

Las condiciones de primer orden son:

$\frac{\partial L}{\partial w} = \mu - \lambda \Sigma w - \gamma$ 1 \= 0
Por lo tanto, $w = \frac{1}{\lambda}\Sigma^{-1}(\mu-\gamma$ 1 ) $\hspace{1cm} [1]$

$\frac{\partial L}{\partial \gamma} = w'$ 1 - 1 = 0
Por lo tanto, $w$ ' 1 \= 1 $\hspace{1cm} [2]$

Sólo para aclarar, $\gamma$ es un número real; 1 , $\mu$ tienen dimensiones de Nx1; $\Sigma$ tiene una dimensión de NxN.

Sustituye [1] por [2]
$[\frac{1}{\lambda}\Sigma^{-1}(\mu-\gamma$ 1 $)]'$ 1 \= 1
$(\mu-\gamma 1)'\Sigma^{-1}$ 1 \= $\lambda$

Soy incapaz de expresar $\gamma \text{ in terms of } \Sigma, \mu, \lambda$ para sustituirla en [1] y escribir una solución para $w$ .

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Sigamos con la nomenclatura de la literatura y dejemos que $\gamma$ denotan el coeficiente de aversión al riesgo del decisor. El problema de optimización es

$$\max_{\mathrm{w}} \mathrm{w}^T\mathrm{\mu}-\frac{1}{2}\gamma \mathrm{w}^T\mathrm{\Sigma}\mathrm{w} \quad s.t. \mathrm{w}^T\mathrm{e}=1$$ donde $e$ denota un vector de unos. El Lagrangean correspondiente se lee: $$L(\mathrm{w},\lambda)= \mathrm{w}^T\mathrm{\mu}-\frac{1}{2}\gamma \mathrm{w}^T\mathrm{\Sigma}\mathrm{w} -\lambda\left( \mathrm{w}^T\mathrm{e}-1\right)$$

Las condiciones de primer orden son lineales: $$\begin{align} L_w&=\mathrm{\mu}-\gamma\mathrm{\Sigma}\mathrm{w}-\lambda\mathrm{e}=!=0\\ L_{\lambda}&=\mathrm{e}^T\mathrm{w}=!=1 \end{align}$$

Podemos formular esto como un sistema lineal como \begin{equation} $$\begin{pmatrix} \gamma\mathrm{\Sigma} & \mathrm{e}\\ \mathrm{e}^T & 0\end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} \mathrm{w}\\ \lambda\end{pmatrix}$$ =\begin{pmatrix}\mathrm{\mu} \\ 1 fin matriz \nd{equation} y por lo tanto

$$\begin{equation} \begin{pmatrix} \mathrm{w^*}\\ \lambda^*\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma\mathrm{\Sigma} & \mathrm{e}\\ \mathrm{e}^T & 0\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}\mathrm{\mu} \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c_{11} & c_{12} \\ ~ c_{21} & c_{22}\ ~ end{pmatrix} \begin{pmatrix}\mathrm{\mu} \\ 1\end{pmatrix} \end{equation}$$

Aquí es donde utilizamos el teorema de la inversión de la matriz en bloque . Nosotros conozca que $w^*$ viene dada por la primera fila de la matriz invertida multiplicada por el vector de restricciones,

$$\mathrm{w}^*=c_{11}\mathrm{\mu}+c_{12}$$ Buscando las dos inversiones en la wiki, encontramos

$$c_{11}=\frac{1}{\gamma}\mathrm{\Sigma}^{-1}-\frac{1}{\gamma}\mathrm{\Sigma}^{-1}\mathrm{e}\left(\mathrm{e}^T\frac{1}{\gamma}\mathrm{\Sigma}^{-1}\mathrm{e}\right)^{-1}\mathrm{e}^T\frac{1}{\gamma}\mathrm{\Sigma}^{-1}$$ y $$c_{12}=\frac{1}{\gamma}\mathrm{\Sigma^{-1}}\mathrm{e}\left(\mathrm{e}^T\frac{1}{\gamma}\mathrm{\Sigma}^{-1}\mathrm{e}\right)^{-1}=\frac{\mathrm{\Sigma^{-1} e}}{\mathrm{e}^T\mathrm{\Sigma^{-1} e}}$$

Introduzcamos lo siguiente

$$\begin{align} a&=\mathrm{e}^T\mathrm{\Sigma^{-1}}\mathrm{e}\\ b&=\mathrm{e}^T\mathrm{\Sigma^{-1}}\mathrm{\mu}\\ w_{MVP}&=\frac{\mathrm{\Sigma^{-1} e}}{\mathrm{e}^T\mathrm{\Sigma^{-1} e}}\\ w_{Tangency}&=\frac{\mathrm{\Sigma^{-1} \mu}}{\mathrm{e}^T\mathrm{\Sigma^{-1} \mu}} \end{align}$$ Obsérvese que, convenientemente, las dos carteras son la de mínima varianza y la de tangencia. Entonces, $c_{12}\mu$ se simplifica a $$c_{12}\mathrm{\mu}=\frac{1}{\gamma}bw_{Tangency}-\frac{1}{\gamma}w_{MVP}b$$

y por lo tanto

$$w^* = w_{MVP} + \frac{1}{\gamma}b\left(w_{Tangency}-w_{MVP}\right)$$

Por último, observamos que $E(MVP)=\frac{b}{a}$ y $V(MVP)=\frac{1}{a}$ . Así, en última instancia, podemos sustituir $b$ en la ecuación anterior y llegar a

$$w^* = w_{MVP} + \frac{1}{\gamma}\frac{\mu_{MVP}}{\sigma_{MVP}^2}\left(w_{Tangency}-w_{MVP}\right)$$