Sigamos con la nomenclatura de la literatura y dejemos que \gamma denotan el coeficiente de aversión al riesgo del decisor. El problema de optimización es
\max_{\mathrm{w}} \mathrm{w}^T\mathrm{\mu}-\frac{1}{2}\gamma \mathrm{w}^T\mathrm{\Sigma}\mathrm{w} \quad s.t. \mathrm{w}^T\mathrm{e}=1 donde e denota un vector de unos. El Lagrangean correspondiente se lee: L(\mathrm{w},\lambda)= \mathrm{w}^T\mathrm{\mu}-\frac{1}{2}\gamma \mathrm{w}^T\mathrm{\Sigma}\mathrm{w} -\lambda\left( \mathrm{w}^T\mathrm{e}-1\right)
Las condiciones de primer orden son lineales: \begin{align} L_w&=\mathrm{\mu}-\gamma\mathrm{\Sigma}\mathrm{w}-\lambda\mathrm{e}=!=0\\ L_{\lambda}&=\mathrm{e}^T\mathrm{w}=!=1 \end{align}
Podemos formular esto como un sistema lineal como \begin{equation} \begin{pmatrix} \gamma\mathrm{\Sigma} & \mathrm{e}\\ \mathrm{e}^T & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{w}\\ \lambda\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathrm{\mu} \\ 1 fin matriz \nd{equation} y por lo tanto
\begin{equation} \begin{pmatrix} \mathrm{w^*}\\ \lambda^*\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma\mathrm{\Sigma} & \mathrm{e}\\ \mathrm{e}^T & 0\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}\mathrm{\mu} \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c_{11} & c_{12} \\ ~ c_{21} & c_{22}\ ~ end{pmatrix} \begin{pmatrix}\mathrm{\mu} \\ 1\end{pmatrix} \end{equation}
Aquí es donde utilizamos el teorema de la inversión de la matriz en bloque . Nosotros conozca que w^* viene dada por la primera fila de la matriz invertida multiplicada por el vector de restricciones,
\mathrm{w}^*=c_{11}\mathrm{\mu}+c_{12} Buscando las dos inversiones en la wiki, encontramos
c_{11}=\frac{1}{\gamma}\mathrm{\Sigma}^{-1}-\frac{1}{\gamma}\mathrm{\Sigma}^{-1}\mathrm{e}\left(\mathrm{e}^T\frac{1}{\gamma}\mathrm{\Sigma}^{-1}\mathrm{e}\right)^{-1}\mathrm{e}^T\frac{1}{\gamma}\mathrm{\Sigma}^{-1} y c_{12}=\frac{1}{\gamma}\mathrm{\Sigma^{-1}}\mathrm{e}\left(\mathrm{e}^T\frac{1}{\gamma}\mathrm{\Sigma}^{-1}\mathrm{e}\right)^{-1}=\frac{\mathrm{\Sigma^{-1} e}}{\mathrm{e}^T\mathrm{\Sigma^{-1} e}}
Introduzcamos lo siguiente
\begin{align} a&=\mathrm{e}^T\mathrm{\Sigma^{-1}}\mathrm{e}\\ b&=\mathrm{e}^T\mathrm{\Sigma^{-1}}\mathrm{\mu}\\ w_{MVP}&=\frac{\mathrm{\Sigma^{-1} e}}{\mathrm{e}^T\mathrm{\Sigma^{-1} e}}\\ w_{Tangency}&=\frac{\mathrm{\Sigma^{-1} \mu}}{\mathrm{e}^T\mathrm{\Sigma^{-1} \mu}} \end{align} Obsérvese que, convenientemente, las dos carteras son la de mínima varianza y la de tangencia. Entonces, c_{12}\mu se simplifica a c_{12}\mathrm{\mu}=\frac{1}{\gamma}bw_{Tangency}-\frac{1}{\gamma}w_{MVP}b
y por lo tanto
w^* = w_{MVP} + \frac{1}{\gamma}b\left(w_{Tangency}-w_{MVP}\right)
Por último, observamos que E(MVP)=\frac{b}{a} y V(MVP)=\frac{1}{a} . Así, en última instancia, podemos sustituir b en la ecuación anterior y llegar a
w^* = w_{MVP} + \frac{1}{\gamma}\frac{\mu_{MVP}}{\sigma_{MVP}^2}\left(w_{Tangency}-w_{MVP}\right)
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Reescribe tu FOC como un sistema de ecuaciones lineales en notación matricial. Resuelve para x utilizando el teorema de la inversión de la matriz en bloque es.m.wikipedia.org/wiki/Matriz de bloques
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Si eso no te ayuda puedo elaborar en una respuesta
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@Kermittfrog ¿podrías explicarlo? He intentado escribir los FOCs pero no he podido ver dónde debo aplicar el teorema de la inversión. Muchas gracias por tu ayuda.