Tasa de supervivencia trimestral dado que existe una probabilidad de impago trimestral

Question

Intento calcular la DP marginal trimestral. Lo he calculado como se indica en la siguiente imagen, pero estoy pensando si el cálculo de la tasa de supervivencia tiene sentido o no.

Las probabilidades de impago en la "columna 1" por trimestre son cantidades anualizadas. Mi pregunta es Cuando tenemos PD trimestrales, ¿es correcto calcular la tasa de supervivencia como (1-Quarterly PiT PD)^(1/4) o Sólo (1-Quarterly PiT PD) . En este ejemplo, he calculado la tasa de supervivencia como (1-Quarterly PiT PD)^(1/4)

Información adicional: Los datos acumulados trimestrales de la última fila se han calculado como se indica en la fórmula de Excel de la última celda.

La PD de PiT para cada trimestre se deriva del siguiente modelo de Vasicek, basado en la PD de TTC constante, el factor macroeconómico único z (valor de cada trimestre) y la correlación de activos constante rho

PiT PD = $\Phi \left( \frac{\phi^{-1}(PD_i)-\sqrt{\rho_i}z}{\sqrt{1-\rho_i}} \right)$

Editar según la respuesta: Traté de incorporar las técnicas de modelado discutidas en la respuesta a continuación de @Jan Stuller. Mi PD acumulada total no es similar a la PD marginal total. ¿Me falta algo aquí?

Answer 1

Ayuda a intuir todos los términos.

La probabilidad de impago puntual (PiT) es una probabilidad de que la contraparte incumpla en un intervalo de tiempo específico.

Denotaré el caso de incumplimiento entre $t_1$ y $t_2$ como $A(t_1,t_2)$ para cualquier intervalo de tiempo arbitrario.

Si lo pensamos lógicamente, dado de hoy estado del mundo (es decir, el estado del mundo en $t_0$ ), el evento $A(t_1,t_2)$ para cualquier intervalo de tiempo futuro $(t_1,t_2)$ no tiene sentido físico de forma aislada: ¿cómo podemos hablar de que la contraparte incumpla entre $(t_1,t_2)$ de forma aislada, sin referirse a lo que ocurre entre $(t_0, t_1)$ ? No podemos, ¡no tiene sentido!

La única manera de que la probabilidad PiT $PD(t_1,t_2)$ tiene sentido es si la contraparte sobrevive entre $t_0$ y $t_1$ . Por lo tanto, para hablar de PiT $PD(t_1,t_2)$ para cualquier $t_1>t_0$ necesitamos hacer algún tipo de referencia lógica a lo que ocurre entre $t_0$ y $t_1$ .

Por lo tanto, lo que PiT $PD(t_1,t_2)$ realmente es, es de hecho el condicional probabilidad de impago entre $t_1$ y $t_2$ , dado que no existe un defecto entre $t_0$ y $t_1$ es decir:

$$PiT PD(t_1,t_2)=\mathbb{P}\left(A(t_1,t_2)|A'(t_0,t_1)\right)$$

En palabras: PiT $PD(t_1,t_2)$ es la probabilidad de que la contraparte incumpla entre $t_1$ y $t_2$ , condicional en el caso de que no se produzca un impago entre $t_0$ y $t_1$ .

¿Cómo calculamos entonces las probabilidades de supervivencia? Para el primer trimestre, es trivial, sabemos que PiT $PD(t_0,t_1)=\mathbb{P}(A(t_0,t_1))$ es el 10% de su gráfico de Excel. La probabilidad de supervivencia es entonces $\mathbb{P}(A'(t_0,t_1))=1-\mathbb{P}(A(t_0,t_1))$ .

Para el trimestre siguiente, podemos utilizar la ley de Bayes, que establece que

$$\mathbb{P}\left(A(t_1,t_2)|A'(t_0,t_1)\right)=\frac{\mathbb{P}\left(A(t_1,t_2)\cap A'(t_0,t_1)\right)}{\mathbb{P}\left(A'(t_0,t_1)\right)}$$

El segundo PiT PD trimestral en su gráfico de Excel es del 12%, esto es de hecho $\mathbb{P}\left(A(t_1,t_2)|A'(t_0,t_1)\right)$ es decir, la probabilidad de impago en el segundo trimestre, dado ningún incumplimiento en el primer trimestre. Por lo tanto, utilizando la fórmula de Bayes anterior, podemos calcular la probabilidad de que el evento "sobreviva al primer trimestre Y caiga en impago en el segundo trimestre", es decir $\mathbb{P}\left(A(t_1,t_2)\cap A'(t_0,t_1)\right)$ (es decir, lo que usted llama probabilidad marginal de impago), así:

$$\mathbb{P}\left(A(t_1,t_2)\cap A'(t_0,t_1)\right)=\mathbb{P}\left(A(t_1,t_2)|A'(t_0,t_1)\right)*\mathbb{P}\left(A'(t_0,t_1)\right)=0.12*0.90=0.108$$

A partir de los dos resultados anteriores, podemos calcular la probabilidad de sobrevivir a los dos primeros trimestres, esto es justo:

$$\mathbb{P}(A'(t_0,t_2))=1-0.1-0.108=0.792$$

Así que básicamente se reduce a utilizar recursivamente la fórmula de Bayes para calcular las probabilidades de supervivencia.

Estas probabilidades de supervivencia pueden reutilizarse en la fórmula Bayes recursiva para calcular la Probabilidad de Incumplimiento acumulada, es decir

$$PD(t_0,T)=\mathbb{P}(A(t_0,t_1))+\mathbb{P}(A'(t_0,t_1))\mathbb{P}(A(t_1,t_2)|A'(t_0,t_1))+\mathbb{P}(A'(t_0,t_2))\mathbb{P}(A(t_2,t_3)|A'(t_0,t_2))+...$$

En resumen :

• Si se asume que la PiT PD es la probabilidad (condicional) de impago por trimestre No es necesario escalarlo a la potencia de un cuarto. Si las PD de PiT están anualizadas, puedes escalarlas simplemente dividiéndolas por 4.

• Para calcular las probabilidades de supervivencia y las probabilidades acumuladas de impago, utilizaría la relación recursiva de Bayes descrita anteriormente.

Answer 2

Sólo para añadir a la respuesta anterior, si $\tau$ es el tiempo por defecto de una entidad, tenemos

$$P(\tau>t-1) =: SP_{t-1}$$ como la definición de probabilidad de supervivencia más allá del tiempo $t-1$ (donde $t$ y $t-1$ son algunos período fijo aparte, digamos un trimestre), y la probabilidad condicional de impago durante el periodo $(t-1,t]$

$$ P(\tau \leq t | \tau > t-1) =: PD_t$$

como la definición de $t$ -en Probabilidad de impago PIT (point in time) (véase también la nota siguiente).

A continuación, utilizamos Bayes:

$$ SP_{t-1} = (1- PD_{t-1}) SP_{t-2} = (1- PD_{t-1}) (1- PD_{t-2}) SP_{t-3} =...$$ dando la probabilidad de supervivencia en términos de PIT PD's $$ SP_{t-1}= \prod_{i=1}^{t-1} (1- PD_{i}). $$

También tenemos: $$ P(\tau\leq t) = 1- SP_{t} = 1- \prod_{i=1}^{t} (1- PD_{i}), $$

$$ P(t-1<\tau \leq t) = PD_t\cdot SP_{t-1} = PD_t \prod_{i=1}^{t-1} (1- PD_{i}),$$

$$ P(\tau \leq t+k | \tau >t-1) = 1- \frac{SP_{t+k}}{SP_{t-1}} = 1- \prod_{i=t}^{t+k} (1- PD_{i}), \; \;\; (*)$$

para cualquier $k$ (decir $k=3$ ) y (ya incluido en la respuesta anterior)

$$ P(\tau \leq t) = \sum_{i=1}^t P(i-1<\tau \leq i) = \sum_{i=1}^t PD_i\cdot SP_{i-1}.$$

Nota: Entiendo que, como se sugiere en las fórmulas de su modelo, para ganarse su nombre completo de "PIT", la PD de PIT está cubriendo un condicionamiento adicional sobre, por ejemplo, una variable macroeconómica (e incluso algunas idiosincrásicas), $X$ en el momento $t-1$ no sólo de supervivencia:

$$ PD_t=PD_t(X_{t-1}):= P(\tau\leq t|\tau >t-1, X_{t-1}). $$

Esto permite representar las DP condicionales a lo largo de una trayectoria (escenario) de $X$ .

Nota 2: Esto es lo que has hecho, expresado en las anotaciones anteriores. En primer lugar, transformaste la EIF "anualizada" en $x$ a la verdadera PIT PD en un trimestre específico:

$$ 1-(1-x)^{1/4} (\approx x/4) $$

(la aproximación es válida para un número pequeño de $x$ ). El resto de las columnas tienen sentido (pero los títulos que has utilizado son algo confusos, de ahí la necesidad de definiciones matemáticas :)).

Nota 3 : Mi opinión sobre la transformación "anualizada" de la EP de la EIF es que uno asume que todos los PIT PD (por defecto en un cuarto condicionada a la supervivencia hasta el inicio del trimestre) son igual , para decir $y$ :

$$PD_{t}=PD_{t+1}=PD_{t+2} = PD_{t+3} = y$$

y que $$ P(\tau \leq t+3|\tau > t-1) = x$$

es dado (por defecto en un año condicionada a la supervivencia hasta el inicio de ese año, es decir, el inicio de su primer trimestre). Utilizando la penúltima igualdad $(*)$ arriba:

$$ x = 1 - (1-y)^4 $$

obtenemos

$$ y = 1- (1-x)^{1/4}. $$