Considere
$\max_{x_1, x_2, x_3, x_4} u(x) = \sqrt{x_1 x_2} + \sqrt{x_3 x_4}$
s.t. $\; p_1x_1 + p_2x_2 + p_3x_3 + p_4x_4 \le w$
Sé que podemos resolver el problema máximo considerando por separado el caso(i): $x_1, x_2 > 0$ y $x_3 = x_4 = 0$ y el caso (ii) $x_1 = x_2 = 0$ y $x_3, x_4 > 0$ .
Pero, ¿es posible resolver todo el problema de optimización mediante el método de Kuhn-Tucker?
Podemos escribir el Lagrangiano $L(x,\lambda)=\sqrt{x_1x_2}+\sqrt{x_3x_4}+\lambda(w-p_1x_1-p_2x_2-p_3x_3-p_4x_4)$
con las condiciones de holgura complementarias:
$\frac{\partial L}{\partial x_1}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x_2}{x_1}}-\lambda p_1 \le 0,\quad x_1 \ge 0, \quad \text{and}\quad x_1 \frac{\partial L}{\partial x_1}=0$ .
$\frac{\partial L}{\partial x_2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x_1}{x_2}}-\lambda p_2 \le 0,\quad x_2 \ge 0, \quad \text{and}\quad x_2 \frac{\partial L}{\partial x_2}=0$ .
$\frac{\partial L}{\partial x_3}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x_4}{x_3}}-\lambda p_3 \le 0,\quad x_3 \ge 0, \quad \text{and}\quad x_3 \frac{\partial L}{\partial x_3}=0$ .
$\frac{\partial L}{\partial x_4}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x_3}{x_4}}-\lambda p_4 \le 0,\quad x_4 \ge 0, \quad \text{and}\quad x_4 \frac{\partial L}{\partial x_4}=0$ .
Sin embargo, cuando se adivina decir, $x_1 = 0$ y $x_2,x_3,x_4>0$ , $\lim_{x_1 \to 0}\frac{\partial L}{\partial x_1} \to \infty$ que no satisface la holgura complementaria $x_1 \frac{\partial L}{\partial x_1} = 0$ .
No sé si podemos utilizar el método de Kuhn-Tucker para resolver este problema de optimización. Y si no, ¿cuáles son las razones?
