Función de producción Cobb-Douglas - Encontrar unidades de trabajo para maximizar la producción

Question

Dada la función de producción $f(L,K)=16L^\frac{1}{4}K^\frac{3}{4}$ donde cada unidad de mano de obra cuesta 50 libras y cada unidad de capital cuesta 100 libras y se tiene un presupuesto de 500.000 libras. Encuentre el número de unidades de trabajo para maximizar la producción.

Nos hicieron esta pregunta en una clase de matemáticas, por lo que no estoy muy seguro de mi solución, que es la siguiente:

Tenemos $Y = 16L^\frac{1}{4}K^\frac{3}{4} + \lambda(500,000-50L-100K)$

$\frac{\partial Y}{\partial L}=4L^\frac{-3}{4}K^\frac{3}{4}-50\lambda =0$

$\frac{\partial Y}{\partial K}=12L^\frac{1}{4}K^\frac{-1}{4}-100\lambda =0$

$\frac{\partial Y}{\partial \lambda}=500,000 - 50L - 100K =0$

Entonces, $\frac{(\frac{\partial Y}{\partial L})}{(\frac{\partial Y}{\partial K})} = \frac{4L^\frac{-3}{4}K^\frac{3}{4}}{12L^\frac{1}{4}K^\frac{-1}{4}} = \frac{50 \lambda}{100 \lambda}$

$\implies \frac{K}{3L}=\frac{1}{2} \implies k = \frac{3}{2}L$

A continuación, introduciendo en $\frac{\partial y}{\partial \lambda}, 500,000 = 50L + 100(\frac{3}{2}L) = 200L$

$\implies L = 2,500$

Por tanto, con un presupuesto de 500.000 libras, ¿2.500 unidades de trabajo maximizan la producción?

Answer 1

Si su objetivo es maximizar la producción, su enfoque es correcto.

Pero si el objetivo es encontrar el número óptimo de unidades de trabajo, entonces debe resolverlo como un problema de maximización de beneficios con una restricción presupuestaria.

Entonces el problema debería ser el siguiente

Maximizar el beneficio de forma que el coste total de la producción no supere el presupuesto $$Max_{L,K}\ Profit(K,L)=P(16L^\frac{1}{4}K^\frac{3}{4}) - 50L - 100K$$ $$st. 50L + 100K \le 500000$$

Entonces la función de Lagrange sería $$\mathcal{L}(K,L,\lambda) = (P(16L^\frac{1}{4}K^\frac{3}{4}) - 50L - 100K) + \lambda(500,000-50L-100K)$$

FOC:

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L}=4PL^\frac{-3}{4}K^\frac{3}{4} - 50-50\lambda =0$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial K}=12PL^\frac{1}{4}K^\frac{-1}{4} - 100-100\lambda =0$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=500,000 - 50L - 100K =0$

Al resolver el sistema de ecuaciones FOC se obtiene $L = 2500, K = 3750$ Usé Wolfram para obtener la solución, pero puedes resolverlo usando el enfoque que usaste en la pregunta.

Código Wolfram:

Z = Lambda

Solve[{4P (L^(-3/4))(K^(3/4)) - 50 - 50Z==0, 12P (L^(1/4))(K^(-1/4)) - 100 - 100Z==0, 500000-50L-100K==0},{L,K,Z}]

Answer 2

En este hilo se debaten dos problemas:

Problema 1 : $$\begin{eqnarray*} \max_{l, k} & \ 16 l^{\frac{1}{4}}k^{\frac{3}{4}} \\ \text{s.t. } & 50l + 100k \leq 500,000 \\ \text{and } & l\geq 0, k\geq 0\end{eqnarray*}$$ Solución a este problema satisfacer:

$\text{MRTS} = \dfrac{\text{MP}_L}{\text{MP}_K}=\dfrac{k}{3l} = \dfrac{50}{100}$ y $50l+100k = 500,000$

Resolviendo el sistema, obtenemos $(l, k) = (2500,3750)$

Problema 2 : $$\begin{eqnarray*} \max_{l, k} & \ p(16 l^{\frac{1}{4}}k^{\frac{3}{4}}) -50l-100k \\ \text{s.t. } & 50l + 100k \leq 500,000 \\ \text{and } & l\geq 0, k\geq 0\end{eqnarray*}$$

Para resolver el problema anterior, podemos resolver primero el problema de minimización de costes de la empresa.

$$\begin{eqnarray*} \min_{l, k} & 50l+100k \\ \text{s.t. } & 16 l^{\frac{1}{4}}k^{\frac{3}{4}} \geq q \\ \text{and } & l\geq 0, k\geq 0\end{eqnarray*}$$

Solución a este problema satisfacer:

$\text{MRTS} = \dfrac{\text{MP}_L}{\text{MP}_K}=\dfrac{k}{3l} = \dfrac{50}{100}$ y $16 l^{\frac{1}{4}}k^{\frac{3}{4}} = q$

Resolviendo el sistema, obtenemos la demanda condicional de trabajo y capital como: $(l^c, k^c)(q) = \left(\left(\frac{2}{3}\right)^\frac{3}{4} \frac{q}{16}, \left(\frac{3}{2}\right)^\frac{1}{4} \frac{q}{16}\right)$

y la función de coste es $C(q) = \dfrac{50 \left(\frac{2}{3}\right)^\frac{3}{4} + 100 \left(\frac{3}{2}\right)^\frac{1}{4}}{16}q$

Definamos $c = \dfrac{50 \left(\frac{2}{3}\right)^\frac{3}{4} + 100 \left(\frac{3}{2}\right)^\frac{1}{4}}{16}$

Por lo tanto, $C(q) = cq$ .

Ahora podemos reescribir el problema anterior de maximización de beneficios como: $$\begin{eqnarray*} \max_{q} & \ pq -cq \\ \text{s.t. } & cq \leq 500,000 \\ \text{and } & q \geq 0\end{eqnarray*}$$

Resolviendo este problema, se obtiene el suministro: $$\begin{eqnarray*} q^s(p) \in \begin{cases} \left\{\frac{500,000}{c}\right\} & \text{if } p > c \\ \left[0,\frac{500,000}{c}\right] & \text{if } p = c \\ \{0\} & \text{if } p < c \end{cases} \end{eqnarray*}$$

Sustituyendo la oferta en la demanda de trabajo condicional se obtiene la demanda de trabajo como: $$\begin{eqnarray*} l^d(p) \in \begin{cases} \left\{2500\right\} & \text{if } p > c \\ \left[0,2500\right] & \text{if } p = c \\ \{0\} & \text{if } p < c \end{cases} \end{eqnarray*}$$ y la demanda de capital es $k^d(p)=\frac{3}{2}l^d(p)$

Answer 3

Basándome en el comentario de Macosso, presentaré otra forma de encontrar el máximo local de la función considerada de forma que se cumpla la restricción presupuestaria. En lugar del multiplicador de Lagrange, investigamos el sistema paramétrico de funciones y reducimos el problema de maximización original a una simple maximización de valores polinómicos.

Nuestro objetivo es maximizar la función de beneficio $$F(K,L) :=P\cdot16\cdot L^{\frac14}\cdot K^{\frac34}-(50L+100K)$$ con la condición presupuestaria $50L+100K\le5\cdot 10^5$ con $K,L\ge 0$ . Esta condición puede reescribirse como $50L+100K=c$ donde $c$ es un parámetro fijo arbitrario con $0\le c\le5\cdot10^5$ . En consecuencia, se obtiene $L+2K=c/50$ es decir, $L=c/50-2K$ . Esto nos permite reducir el número de variables de la función $F$ definido anteriormente. Obtenemos $$F(K,L)\biggl |_{L=\frac c{50}-2K} =\underbrace{16\cdot P\cdot\sqrt[4]{\left(\frac c{50}-2K\right)\cdot K^3}-c}_{\varphi(K)}.$$ Recuerde que $c$ es un parámetro fijo. Por lo tanto, para encontrar los extremos locales de $\varphi(K)$ se puede despreciar el parámetro aditivo constante $c$ e investigar la función $$16\cdot P\cdot\sqrt[4]{\left(\frac c{50}-2K\right)\cdot K^3}.$$ No obstante, teniendo en cuenta que $\sqrt[4]x$ es estrictamente creciente, deducimos que preserva la monotonicidad y, por tanto, los extremos locales y su tipo (mín., máx.). Por lo tanto, las funciones $$f(K):=\left(\frac c{50}-2K\right)\cdot K^3$$ y $\varphi(K)$ alcanzan sus extremos locales al mismo $K$ -coordenada(s). La expansión de la última expresión polinómica implica $$\begin{align*} f(K) &=\frac c{50}\cdot K^3-2K^4,\\[4mm] f'(K) &=\frac{3c}{50}\cdot K^2-8K^3 =K^2\cdot\underbrace{\left(\frac{3c}{50}-8K\right)}_{\text{zero point: $K=\frac{3c}{400}$}}. \end{align*}$$ Dado que la derivada $f'(K)$ es positivo en la vecindad izquierda de $K=3c/400$ y negativo en la derecha, se deduce que $f(K)$ alcanza su máximo local en este punto.

Evaluemos ahora el valor de este máximo: $$\begin{align*} \varphi\left(\frac{3c}{400}\right) &=16\cdot P\cdot\sqrt[4]{\left(\frac c{50}-\frac{3c}{200}\right )\cdot\left(\frac{3c}{400}\right)^3}-c\\[1em] &=P\cdot c\cdot\frac{\sqrt[4]{54}}{25}-c\\[1em] &=c\cdot\left(P\cdot\frac{\sqrt[4]{54}}{25}-1\right). \end{align*}$$

Puesto que buscamos $$\max_{\substack{K,L\ge 0\\50L+100K\le 5\cdot 10^5}}F(K,L),$$ finalmente basta con encontrar el máximo de $\varphi(3c/400)$ con $0\le c\le 5\cdot 10^5$ . Obtenemos fácilmente que $$\begin{align*} \max_{\substack{K,L\ge 0\\50L+100K\le 5\cdot 10^5}}F(K,L) &=\max_{0\le c\le 5\cdot10^5}\varphi\left(\frac{3c}{400}\right)\\[1em] &=\max_{0\le c\le 5\cdot10^5}c\cdot\left(P\cdot\frac{\sqrt[4]{54}}{25}-1\right)\\[1.5em] &=\begin{cases} 5\cdot 10^5\cdot\left(P\cdot\frac{\sqrt[4]{54}}{25}-1\right)& \text{for $P>\frac{25}{\sqrt[4]{54}}$},\\[1em] 0& \text{for $0<P\le\frac{25}{\sqrt[4]{54}}$}. \end{cases} \end{align*}$$

Por supuesto, para localizar el extremo (óptimo), podemos escribir (respecto al primer caso $P>25/\sqrt[4]{54}$ ) $$\begin{align*} K_0&=\frac{3c}{400}\Biggl|_{c=5\cdot 10^5}=3750,\\[1em] L_0&=\frac c{50}-2K_0\Biggl|_{c=5\cdot 10^5}=2500. \end{align*}$$

Observación: Creo que no era obvio considerar el valor $c=5\cdot 10^5$ desde el principio.