$dY_t=2Y_tdt+2\sqrt{1+Y_t^2}dW_t$ donde $W_t$ es $P-$ Movimiento browniano (proceso de Wiener).
He definido una nueva medida $Q$ donde la densidad del núcleo (en el teorema de Girsanov) es $$ \phi_t = \frac{Y_t}{\sqrt{1+Y_t^2}} $$ Ahora tengo que asegurarme de que se cumple la condición de Novikov. Por lo tanto, necesito asegurarme: $$ E^P [\exp \{ \int_0^t \frac{Y_u^2}{1+Y_u^2}du \}]< \infty. $$ ¿Lo es? ¿Es posible demostrarlo y cómo puedo hacerlo?
Si se hace el cambio de variable $Y_t = \sinh U_t$ y aplicar Ito entonces se obtiene inmediatamente
$$dU_t = 2dW_t$$
por lo que la solución de su SDE es $$Y_t = \sinh\left(2W_t + C\right)$$
con $C$ una constante.
Entonces para responder a su pregunta basta con observar que
$$\frac{Y_u}{\sqrt{1+Y_u^2}}=\tanh(U_t)$$
que está acotado por lo tanto su expresión es finita ya que el integrando está acotado.
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No entiendo la primera ecuación. Por favor, corrija
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$dY_t$ en lugar de $Y_t$ . Gracias por el recordatorio. Ahora he corregido.
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Tenga en cuenta que $0 \le \frac{Y_u^2}{1+Y_u^2} < 1$ . Entonces $\exp\int_0^t \frac{Y_u^2}{1+Y_u^2} du < \exp(t)$ y $E\left( \exp\int_0^t \frac{Y_u^2}{1+Y_u^2} du\right) \le \exp(t)$ .