Derivación de la solución para la opción de compra europea en el modelo Heston

Question

Estoy derivando la solución para la opción de compra europea en el Modelo Heston. Sigo el documento original de Heston y las derivaciones de Fabrice Douglas Rouah en su libro El modelo Heston y sus extensiones en Matlab y C# . Sin embargo, tengo problemas para entender algunos pasos: tengo 3 preguntas.

La cartera de cobertura en el modelo Heston consiste en una opción, $V = V(S,v,t)$ , $\Delta$ acciones y $\phi$ unidades de la opción para cubrir la volatilidad, $U(S,v,t)$ y tiene el valor \begin{align*} \Pi = V + \Delta S + \phi U, \end{align*} donde la variación del valor de la cartera en el intervalo de tiempo, $dt$ está dada por: \begin{align} \label{HestonPort} d\Pi = dV + d\Delta S + d\phi U. \end{align}

A continuación, quiero obtener el proceso seguido por $dV$ . Rouah escribe que, hay que aplicar el lema de Itô a $V$ y que hay que diferenciar $V$ En $t,S$ y $v$ y crear una expansión de Taylor de segundo orden. Esto resulta en: \begin{align*} dV = \frac{\partial V}{\partial t}dt + \frac{\partial V}{\partial S}dS + \frac{\partial V}{\partial v}dv + \frac{1}{2}vS^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2}dt + \frac{1}{2}v\sigma^2\frac{\partial^2V}{\partial v^2}dt + \sigma \rho v S \frac{\partial^2 V}{\partial S \partial v}dt. \end{align*}

1. No entiendo este paso. ¿Por qué tengo que crear una expansión de Taylor de segundo orden? ¿Y por qué tengo que diferenciar $V$ En $t,S$ y $v$ ? Entiendo el lema de Itô como en la derivación del modelo de Black Scholes - ¿es algún tipo de extensión de Itô? ¿O cómo puedo saber que necesito la expansión de Taylor de segundo orden?

Más adelante en las derivaciones, Heston escribe que para en una opción de compra europea "adivina una solución de la forma": $$ C(S,v,t) = SP_1 - Ke^{-rT}P_2. $$ (página 330, ecuación 10). Esto es una analogía con la fórmula Black-Scholes. El primer término es el valor actual del activo al contado en el momento del ejercicio óptimo, y el segundo término es el valor actual del pago del precio de ejercicio. Ambos términos deben satisfacer la EDP dada por:

\begin{align} \label{HestonPDE} \begin{split} & \frac{\partial U}{\partial t} + \frac{1}{2}vS^2\frac{\partial^2U}{\partial S^2} + \sigma \rho v S \frac{\partial^2 U}{\partial S \partial v} + \frac{1}{2}v\sigma^2\frac{\partial^2U}{\partial v^2} \\ - &rU + rS \frac{\partial U}{\partial S} + \left[ \kappa(\theta - v) - \lambda(S,v,t) \right] \frac{\partial U}{\partial v} = 0. \end{split} \end{align}

Sustituyendo la solución propuesta en la EDP original se observa que P1 y P2 deben satisfacer:

\begin{align} \label{PPDE} \frac{\partial P_j}{\partial t} + \rho \sigma v \frac{\partial^2 P_j}{\partial v \partial x} + \frac{1}{2} v \frac{\partial^2 P_j}{\partial x^2} + \frac{1}{2} \sigma^2 v \frac{\partial^2 P_j}{\partial v^2} + (r+u_j v) \frac{\partial P_j}{\partial x} + (a-b_j v) \frac{\partial P_j}{\partial v} = 0, \end{align}

2. Veo que la "conjetura" de Heston es similar a la ecuación de Black Scholes, pero ¿cómo puede "adivinar" esta solución? ¿Se puede derivar esta conjetura de la EDP?
3. ¿Por qué los dos términos de la solución adivinada también deben satisfacer la EDP? ¿Y por qué es necesario derivar una EDP para P1 y P2?

Gracias de antemano.

Answer 1

Lemma de Itô

El versión estándar del Lemma de Itô se aplica a un único proceso de Itô $\text{d}X_t=\mu(t,X_t)\mathrm{d}t+\sigma(t,X_t)\mathrm dW_t$ . Entonces, $$\mathrm{d}f(t,X_t) = \left(f_t+\mu(t,X_t)f_x + \frac{1}{2}\sigma(t,X_t)^2f_{xx}\right)\mathrm{d}t+\sigma(t,X_t)f_x\mathrm dW_t.$$ Dejemos que $\text{d}Y_t=m(t,Y_t)\mathrm{d}t+s(t,Y_t)\mathrm dW_t^{(2)}$ sea un segundo proceso Itô con $\mathrm dW_t\mathrm dW_t^{(2)}=\rho\mathrm dt$ . Entonces, \begin{align*} \mathrm{d}f(t,X_t,Y_t) = \bigg(& f_t+\mu(t,X_t)f_x+m(t,Y_t)f_y + \frac{1}{2}\sigma(t,X_t)^2f_{xx}+\rho\sigma(t,X_t)s(t,Y_t)f_{xy} \\ &+ \frac{1}{2}s(t,Y_t)^2f_{yy}\bigg)\mathrm{d}t+\sigma(t,X_t)f_x\mathrm dW_t+s(t,Y_t)f_y\mathrm dW_t^{(2)}. \end{align*} Como alternativa, podemos escribir $$\mathrm{d}f= \left(f_t+ \frac{1}{2}\sigma(t,X_t)^2f_{xx}+\rho\sigma(t,X_t)s(t,Y_t)f_{xy}+ \frac{1}{2}s(t,Y_t)^2f_{yy}\right)\mathrm{d}t+f_x\mathrm dX_t+f_y\mathrm dY_t.$$ Nota:

• La prueba de esta versión también se basa en un polinomio de Taylor y, por tanto, se asemeja a la correspondiente expansión bidimensional de segundo orden.
• El lema de Itô puede generalizarse a funciones de más variables, $f(t,X^{(1)}_t,...,X^{(n)}_t)$ Funciones de valor complejo y funciones que no son suaves, véase esta respuesta . También se puede generalizar a los procesos de salto y integradores más generales .

Ejemplo: El modelo de volatilidad estocástica de Heston . Dejemos que \begin{align*} \text{d}S_t&=\mu S_t\mathrm{d}t+\sqrt{v_t}S_t\mathrm dW_t \\ \text{d}v_t&=\kappa(\bar{v}-v_t)\mathrm{d}t+\xi\sqrt{v_t}\mathrm dW_t^{(2)}, \end{align*} donde $\mathrm dW_t\mathrm dW_t^{(2)}=\rho\mathrm dt$ . Entonces, $$\mathrm{d}f(t,S_t,v_t) = \left(f_t+\mu S_t f_S+\kappa (\bar{v}-v_t)f_v + \frac{1}{2}v_tS_t^2f_{SS}+\rho\xi v_t S_tf_{Sv} + \frac{1}{2}\xi^2v_tf_{vv}\right)\mathrm{d}t+\sqrt{v_t} S_t f_S\mathrm dW_t+\xi \sqrt{v_t}f_v\mathrm dW_t^{(2)}.$$

A partir de aquí, podemos proceder como en sus notas, de forma similar a la derivación de Black-Scholes. En lugar de una cobertura delta simple, necesitamos una cobertura delta y vega simultánea para eliminar el riesgo de la acción y el riesgo de varianza.

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Adivinar la solución

En primer lugar, a menudo se hacen "buenas conjeturas" para resolver las EDP. Después de algunos (¿muchos?) años, uno adquiere experiencia con las EDP y a veces puede adivinar la forma funcional de la solución. En el caso del modelo de Heston: la fórmula de la opción de compra de Black-Scholes conlleva mucha intuición económica (precio de la opción de compra de activo o nada y de la opción de compra de efectivo o nada), véase esto responder . Las opciones sobre bonos de cupón cero también tienen una forma funcional similar. Por lo tanto, es razonable suponer que la forma funcional de Black-Scholes se traslada al modelo de volatilidad estocástica.

De hecho, la técnica de cambio numérico de Geman et al. (1995) nos dice que los precios de las opciones no sólo se pueden escribir como suma de opciones digitales, sino también como suma de probabilidades de ejercicio, \begin{align*} C(S;K,T) = Se^{-qT}\mathbb{S}[\{S_T\geq K\}] - Ke^{-rT}\mathbb{Q}[\{S_T\geq K\}], \end{align*} donde $\mathbb{Q}$ es la medida estándar de riesgo neutro y $\mathbb{S}$ es la medida de las acciones. Así que la suposición de Heston es sensata.

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PDE de Heston

Después de adivinar $C=SP_1-Ke^{-rT}P_2$ tenemos, por ejemplo, $$\frac{\partial}{\partial S} C= P_1+S\frac{\partial}{\partial S}P_1 -Ke^{-rT}\frac{\partial}{\partial S}P_2$$ y $$\frac{\partial}{\partial t} C= S\frac{\partial}{\partial t}P_1 -Ke^{-rT}\frac{\partial}{\partial t}P_2.$$ Si se introduce todo esto en la EDP real para $C$ (junto con las otras derivadas parciales necesarias), entonces se obtienen dos EDP para $P_1$ y $P_2$ .

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Derivación alternativa

Proporciono una rápida derivación alternativa para la fórmula de Heston utilizando cambios numéricos. Recordemos \begin{align*} C(S;K,T) = Se^{-qT}\mathbb{S}[\{S_T\geq K\}] - Ke^{-rT}\mathbb{Q}[\{S_T\geq K\}]. \end{align*}

La fórmula de inversión de Gil-Pelaez (1951) establece que para cualquier medida de probabilidad $\mathcal{P}$ , \begin{align*} \int_0^\infty \Re\left(\frac{e^{-i\ln(K)u}\varphi_{\ln(S_T)}^\mathcal{P}(u)}{iu}\right)\mathrm{d}u = \pi\left(\mathcal{P}\big[\{S_T\geq K\}\big] - \frac{1}{2}\right), \end{align*} donde $\varphi_{X}^\mathcal{P}(u)=\mathbb{E}^\mathcal{P}[e^{iu X}]$ es la función característica de una variable aleatoria integrable $X$ en $\mathcal{P}$ . Si $X$ tiene una función de densidad de probabilidad, entonces $\varphi$ es la transformada de Fourier de esta densidad.

Un cambio numérico da $$\varphi_{\ln(S_T)}^\mathbb{S}(u)=\mathbb{E}^\mathbb{S}[e^{iu \ln(S_T)}] = \mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{\text{d}\mathbb{S}}{\mathrm d\mathbb{Q}}e^{iu \ln(S_T)}\right]=\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{S_T}{\mathbb{E}^\mathbb{Q}[S_T]}e^{iu \ln(S_T)}\right]=\frac{\varphi_{\ln(S_T)}^\mathbb{Q}(u-i)}{\varphi_{\ln(S_T)}^\mathbb{Q}(-i)}.$$

Se puede combinar todo esto y llegar a la fórmula de Heston, todo expresado en términos de una única función característica, $\varphi_{\ln(S_T)}^\mathbb{Q}$ , \begin{align*} \mathbb{Q}\big[\{S_T\geq K\}\big] &= \frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\int_0^\infty \Re\left(\frac{e^{-i\ln(K)u}\varphi(u)}{iu}\right)\mathrm{d}u, \\ \mathbb{S}\big[\{S_T\geq K\}\big] &= \frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\int_0^\infty \Re\left(\frac{e^{-i\ln(K)u}\varphi(u-i)}{iu\varphi(-i)}\right)\mathrm{d}u, \end{align*} donde $\varphi$ es la función característica estándar de Heston de $\ln(S_T)$ en $\mathbb{Q}$ que se encuentra en muchos libros de texto.

Nota

• Estas fórmulas se aplican en realidad a todos los modelos con función característica conocida (la mayoría de los modelos de volatilidad estocástica y los procesos exponenciales de Lévy).
• Si sabes más sobre los métodos de Fourier, reconocerás estas fórmulas como equivalentes a Bakshi y Madan (2000) fórmula y Bates (2006) fórmula. También son un caso especial de Lewis (2001) fórmula que, a su vez, anida Carr y Madan (1999) enfoque.