Esquema de Euler para modelos de difusión de saltos

Question

Los modelos de difusión de salto (como Merton) tienen la siguiente SDE: $$dS_t=\mu S_tdt+\sigma S_t dW_t+S_tdJ_t$$ donde $$J_t=\sum_{i=1}^{N_t}(\xi_i - 1)$$ $\xi_i$ - i.i.dn $N_t$ - Proceso de Poisson

¿Tenemos en el esquema de Euler algo así?

$$S_{t+\Delta t}=S_t+\mu S_t\Delta t+\sigma S_t\Delta W_t+S_t\Delta J_t$$

donde $$\Delta J_t = \sum_{i=N_{t}}^{N_{t+\Delta t}}(\xi_i -1)$$ Así que para calcular $\Delta J_t$ tenemos que smular la variable aleatoria de la distribución de Poisson $\lambda \Delta t$ que denota el número de saltos entre $t$ y $t+\Delta t$ y luego simular este número de saltos $\xi$ ¿tengo razón? Sé que esta SDE tiene solución, pero quiero comparar los resultados. ¿Qué número de $N$ (pasos de tiempo) suele ser óptimo para aproximarse muy bien a la solución?

Answer 1

Comúnmente, empleamos el esquema de Euler para $\Delta\ln(S_t)$ no para $\Delta S_t$ .

Especifiquemos la parte del salto como

$$ S_{t+}=S_{t}J\Rightarrow dS_t=S_t(J-1) $$ donde $J$ es una variable aleatoria estrictamente positiva. ( NB: Con Merton tendríamos $\ln(J)\sim N(\mu_J,\sigma_J^2)$ y $\mathrm{E}(J)=e^{\mu_J+\frac{1}{2}\sigma_J^2}$ )

Y para el esquema de solución llegamos a:

$$ \begin{align} \frac{dS_t}{S_t}&=\mu dt + \sigma dW_t+(J-1)dN_t\\ y_t&=\ln{S_t}\\ \Rightarrow dy_t&=\left( \mu-\frac{1}{2}\sigma^2 \right)dt+\sigma dW_t+\left(\ln (S_{t+})-(ln S_t)\right)dN_t\\ &=\left( \mu-\frac{1}{2}\sigma^2 \right)dt+\sigma dW_t+\ln(J) dN_t\\ \Rightarrow y_t&=\left( \mu-\frac{1}{2}\sigma^2 \right)t+\sigma W_t + \sum_{i=i}^{N_t}\ln(J_i)\\ \Rightarrow S_t&=S_0e^{\left( \mu-\frac{1}{2}\sigma^2 \right)t+\sigma W_t} \prod_{i=1}^{N_t}J_i\\ \end{align} $$

Supongamos que tenemos el modelo de difusión de saltos de Merton. Entonces el La discretización de Euler es :

$$ \begin{align} y_t&\leftarrow y_0\\ \epsilon_{1,t} & \sim N(0,\sigma^2)\\ \epsilon_{2,t} & \sim N(\mu_J,\sigma_J^2)\\ N_t&\sim \left\{ \begin{array}{1} 0 & p=e^{-\lambda\Delta t}\\ 1 & 1-p\end{array} \right. \\ y_{t+\Delta t}&\leftarrow y_t+\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}\epsilon_1+N_t\epsilon_{2,t} \end{align} $$ y $S_{t}=e^{y_t}$ en consecuencia. Y si se simula bajo la medida de riesgo neutral, entonces por supuesto $\mu=r_f-\lambda\mathrm{E}^{\mathbb{Q}}(J-1)$ .

¿HORA DE LA VERDAD?