Precio de mercado del riesgo en dos activos

Question

Bajo los supuestos del modelo de Black--Scholes, he leído que el precio de mercado del riesgo de dos activos $S_1$ y $S_2$ es el mismo, si ambos siguen el movimiento Browniano geométrico impulsado por el mismo movimiento Browniano.

La afirmación es que si \begin{align*} dS_1(t)&=\mu_1S_1(t)dt+\sigma_1S_1(t)dW(t),\qquad\text{y} \\ dS_2(t)&=\mu_2S_2(t)dt+\sigma_2S_2(t)dW(t) \end{align*} entonces $$\frac{\mu_1-r}{\sigma_1}=\frac{\mu_2-r}{\sigma_2}$$ donde $r$ es la tasa libre de riesgo. La 'demostración' de esto se basa en la construcción de una cartera de $\sigma_2S_2$ unidades de $S_1$ y $-\sigma_1S_1$ unidades de $S_2$ y suponiendo que esta cartera es autofinanciada, luego usando la fórmula de Ito en el valor de esta cartera para mostrar que solo tiene un término de deriva. No creo que se sostenga la suposición de que esta cartera es autofinanciada.

¿Se cumple la afirmación, y de ser así hay una demostración de este resultado?

EDIT:

Pensé un poco más sobre esto y me di cuenta de que se desprende del Segundo Teorema Fundamental de la Valoración de Activos donde la medida de riesgo neutral es única si y solo si el mercado no tiene oportunidades de arbitraje y es completo.

Suponiendo que el mercado no tiene oportunidades de arbitraje y es completo, podemos construir medidas $\mathbb{Q}_1$ y $\mathbb{Q}_2$ tales que $$W_1(t)=W(t)+\frac{\mu_1-r}{\sigma_1}t,\qquad W_2(t)=W(t)+\frac{\mu_2-r}{\sigma_2}t$$ son movimientos Brownianos bajo las medidas $\mathbb{Q}_1$ y $\mathbb{Q}_2$ respectivamente. Ambas medidas dan lugar a una medida tal que los precios de activos descontados son martingalas. Por unicidad, $\mathbb{Q}_1=\mathbb{Q}_2$ y por lo tanto $$\frac{\mu_1-r}{\sigma_1}=\frac{\mu_2-r}{\sigma_2}.$$

Answer 1

Aquí hay una solución simple usando la equivalencia de no arbitraje y la existencia de un factor de descuento estocástico. Deje que el SDF sea $\Lambda(t)$. Esto evoluciona como

$$\frac{d\Lambda(t)}{\Lambda(t)}=-rdt-\varphi(t) dW(t),$$

donde utilizamos el hecho de que la deriva del SDF es la tasa libre de riesgo y que solo hay una fuente de incertidumbre. Las condiciones de fijación de precios estándar para las acciones son

$$(\mu_1-r)dt=-\frac{dS_1(t)}{S_1(t)}\frac{d\Lambda(t)}{\Lambda(t)}=\sigma_1\varphi(t)dt$$

$$(\mu_2-r)dt=-\frac{dS_2(t)}{S_2(t)}\frac{d\Lambda(t)}{\Lambda(t)}=\sigma_2\varphi(t)dt.$$

Eso es el precio de riesgo del mercado $\varphi(t)$ se da por

$$\varphi(t)=\frac{\mu_1-r}{\sigma_1}=\frac{\mu_2-r}{\sigma_2}$$

Answer 2

Otra forma de verlo es que tenemos un proceso de movimiento Browniano unidimensional que impulsa el mercado pero dos activos riesgosos. El proceso de precio de riesgo en el mercado (dando la medida martingala equivalente), $\lambda$, debe entonces cumplir dos condiciones:

$$ \lambda \sigma_1 =\mu_1 -r $$ $$ \lambda \sigma_2 =\mu_2 -r $$

lo que implica

$$\frac{\mu_1-r}{\sigma_1}=\frac{\mu_2-r}{\sigma_2}.$$

Actualización: Otra forma (misma estrategia que en la pregunta, pero con un portafolio diferente).

Para un portafolio autofinanciado $(\gamma^1, \gamma^2,\beta) $, tenemos:

$$ P_t = \gamma^1_tS_t^1 + \gamma^2_tS_t^2 + \beta_tB_t $$

y

$$ dP_t = \gamma^1_t dS_t^1 + \gamma^2_t dS_t^1 +\beta_tdB_t $$

que es lo mismo que

$$ dP_t = \gamma^1_t dS_t^1 + \gamma^2_t dS_t^1 +r(P_t - \gamma^1_tS_t^1 - \gamma^2_tS_t^2) dt $$

(se usó $dB_t = rB_t dt$ en el último paso)

Resulta que $\beta_t$ necesita ser riesgoso, una función de los activos. Tomamos:

$$ \gamma_t^1 = (\sigma_1 S_t^1)^{-1} $$

$$ \gamma_t^2 = (\sigma_2 S_t^2)^{-1} $$

y $\beta$ definido por la ecuación:

$$ d\beta_t = B_t^{-1}(\gamma_t^1 dS_t^1 + \gamma_t^2 dS_t^2 )$$

Esto es autofinanciado porque:

$$ dP_t = d(\gamma^1_tS_t^1 + \gamma^2_tS_t^2 + \beta_tB_t) $$ $$ = d(\sigma_1^{-1} + \sigma_2^{-1} + \beta_tB_t) $$ $$ = B_t d\beta_t + \beta_tdB_t $$ $$ = \gamma_t^1 dS_t^1 + \gamma_t^2 dS_t^2 + \beta_tdB_t.$$

(se usó el hecho de que la covariación cuadrática entre $\beta_t$ y $B_t$ es $0$)

Finalmente, algunos cálculos directos nos llevan a:

$$ dP_t= \gamma^1_t dS_t^1 + \gamma^2_t dS_t^1 +r(P_t - \gamma^1_tS_t^1 - \gamma^2_tS_t^2) dt $$

$$ = \left(rP_t + \frac{\mu_1-r}{\sigma_1} -\frac{\mu_2-r}{\sigma_2} \right)dt $$

Actualización 2: Para los pesos en la pregunta, podemos elegir $\beta$ de manera que

$$d \beta = - B^{-1}(\sigma_2 S^1 dS^2 - \sigma_1 S^2 dS^1 + (\sigma_2 -\sigma_1)dS^1dS^2) $$

Para $$ P = \sigma_2 S^2S^1 - \sigma_1 S^1S^2 + \beta B$$

entonces tenemos:

$$ dP = (\sigma_2 -\sigma_1)d(S^1S^2) + Bd\beta + \beta dB$$ $$ = (\sigma_2 -\sigma_1)(S^1dS^2 + S^2dS^1 + dS^1dS^2) + Bd\beta + \beta dB $$ $$ = \sigma_2S_2 dS^1 -\sigma_1 S^1 dS^2 + \beta dB $$

Entonces, la dinámica final del portafolio es:

$$ dP= \sigma_2 S^2dS^1 - \sigma_1 S^1dS^2 +r(P_t - \sigma_2 S^2S^1 + \sigma_1 S^1S^2 ) dt $$

$$ = \left(rP + \sigma_2(\mu_1-r)S^1S^2 - \sigma_1(\mu_2-r)S^1S^2\right) dt$$