Ecuación de Euler en tiempo continuo VS tiempo discreto

Question

He visto la ecuación de Euler en tiempo discreto para el modelo de crecimiento neoclásico de referencia escrita como $$\frac{U'(c_{t+1})}{U'(c_{t})}=\frac{1}{\beta(1+r)}$$

Sin embargo, también he visto la ecuación de Euler para el equivalente en tiempo continuo escrita como $$\frac{U''(c(t))}{U'(c(t))}\dot{c}(t)=r-f'(k)$$

Ignorando los lados derechos de estas ecuaciones (que varían según la configuración del modelo) y mirando exclusivamente el lado izquierdo, veo dos formulaciones muy diferentes de la misma ecuación.

Mi pregunta es: "¿Cómo representa la ecuación de Euler en tiempo continuo la misma cosa conceptualmente cuando se compara con su contraparte en tiempo discreto?"

Answer 1

Una forma de ver (intuitivamente) la conexión entre los lados de la izquierda es escribir el caso discreto como: $$ \frac{u'(c(t + \tau))}{u'(c(t))}, $$ para $\tau = 1$ . Ahora bien, si generalizamos esto a un escenario en el que $\tau$ es ahora una variable en $\mathbb{R}$ se convierte en una función de $\tau$ . Tomando la derivada con respecto a $\tau$ y evaluando en $\tau = 0$ , da: $$ \frac{u''(c(t))}{u'(c(t))} \dot c(t). $$ que es el lado izquierdo para el caso continuo. Por lo tanto, el lado izquierdo del caso continuo puede verse como la "derivada" de la configuración discreta (cuando se permite que el intervalo de tiempo sea cero).

Answer 2

No se puede ignorar por completo el RHS. A partir de $$\frac{U'(c_{t+1})}{U'(c_{t})}=RHS,$$ sustituir $t+1$ por $t+\Delta t$ para conseguir $$\frac{U'(c(t+\Delta t))}{U'(c(t))}=RHS_{\Delta t},$$ donde $RHS_{\Delta t}$ es la versión modificada de $RHS$ que contiene términos que dependen de $\Delta t$ Por ejemplo, el factor de descuento modificado. Ampliando alrededor de $c(t)$ (y despreciando los términos de orden superior por razones de brevedad) nos da entonces $$\frac{U''(c(t))}{U'(c(t))}\dot{c}(t)=\frac{RHS_{\Delta t}-1}{\Delta t},$$ y dejar que $\Delta t\rightarrow 0$ Todo debería encajar.