Para responder, la afirmación de que la volatilidad es más fácil de predecir que el rendimiento esperado requiere una aclaración. La frase "más fácil de predecir" es especialmente ambigua.
Para mí esto significa que la estimación de la volatilidad a partir de una muestra de rendimientos es más robusta que la estimación del rendimiento esperado en el contexto de relativa error de muestreo.
Supongamos que durante un periodo de tiempo $T$ observamos los precios de los activos $S_0,S_1, \ldots, S_N$ a intervalos de tiempo uniformemente espaciados de longitud $\delta t$ donde $T = N \delta t$ . Supongamos que el rendimiento logarítmico (en un intervalo de longitud $\delta t$ ) tiene una distribución estable y los rendimientos en intervalos no superpuestos son independientes. Sea $\mu$ y $\sigma$ denotan la rentabilidad media anualizada y la volatilidad, respectivamente.
El $\delta t$ -periodo log-return tiene valor esperado $\mu \delta t$ y la varianza $\sigma^2 \delta t$ donde el $\delta t$ El escalado de la varianza es una consecuencia de la independencia. Ahora tenemos una muestra iid $X_1,X_2,\ldots, X_N$ donde
$$X_j = \log \frac{S_j}{S_{j-1}}$$
y los estimadores del retroceso esperado y de la volatilidad son
$$\hat{\mu}\delta t = \frac{1}{N}\sum_{j=1}^N X_j, \quad \hat{\sigma}^2\delta t = \frac{1}{N-1}\sum_{j=1}^N (X_j - \hat{\mu}\delta t)^2$$
Asintóticamente, las distribuciones muestrales de los estimadores son
$$\hat{\mu}\delta t \sim \mathcal{N}(\mu \delta t, \sigma^2 \delta t/N),\quad \frac{(N-1) \hat{\sigma}^2 \delta t}{\sigma^2 \delta t} \sim \chi^2(N-1),$$ es decir, normal y chi-cuadrado con $N-1$ grados de libertad, respectivamente. Los errores estándar para las estimaciones de la rentabilidad y la volatilidad esperadas son, respectivamente, $\sigma\sqrt{\frac{\delta t}{N}}$ y $\frac{\sqrt{2} \sigma^2 \delta t}{\sqrt{N-1}}$ .
Como era de esperar, el absoluto El error de muestreo (dado por el error estándar) para la rentabilidad esperada y la volatilidad disminuye a medida que $1/\sqrt{N}$ como el número de muestras $N$ aumenta.
Sin embargo, Pero los errores relativos cuentan una historia diferente. El error de muestreo relativo de la volatilidad es
$$\frac{\frac{\sqrt{2} \sigma^2 \delta t}{\sqrt{N-1}}}{\sigma^2 \delta t} = \sqrt{\frac{2}{N-1}}$$
Esto demuestra que el error relativo mejora simplemente aumentando el número de muestras. Dado un periodo de tiempo fijo $T$ Sólo tenemos que muestrear los rendimientos a una frecuencia más alta para mejorar la estimación de la volatilidad. El muestreo diario es más preciso que el mensual, el mensual es más preciso que el trimestral, etc.
Por otro lado, el error de muestreo relativo para la rentabilidad esperada es
$$\frac{\sigma \sqrt{\frac{\delta t}{N}}}{\mu \delta t} = \frac{\sigma}{\mu \sqrt{N \delta t}}= \frac{\sigma}{\mu \sqrt{T}}$$
La única forma de obtener una mejor estimación de la rentabilidad esperada es aumentar la duración del periodo $T$ sobre el que se observan las muestras. Para un periodo fijo $T$ Si la frecuencia de muestreo es inferior a 3 años, el error relativo no puede mejorarse aumentando la frecuencia de muestreo, independientemente del número de muestras adicionales que se tomen. En otras palabras, para mejorar la precisión del rendimiento estimado en un factor de 5, debemos aumentar el período de muestreo en un factor de 25 a 75 años, lo cual es claramente problemático.
La causa fundamental de este fenómeno parece ser el hecho de que las escalas de retorno como $\delta t$ y la volatilidad, con rendimientos independientes, escalas como $\sqrt{\delta t}$ con respecto al periodo de medición $\delta t$ .
