Normalmente el axioma de continuidad tiene dos partes
- si $x_n \to x$ y $x_n \succeq y$ para todos $n$ entonces $x \succeq y$ .
- si $x_n \to x$ y $x_n \preceq y$ para todos $n$ entonces $x \preceq y$ .
No entiendo la idea: ¿cómo es esto equivalente a $(A \succeq B) \wedge (A$ suficientemente cerca de $C$ ) $\to $ $C \succeq B$ .
No lo es. Tomemos por ejemplo el caso en el que las preferencias son estrictamente montoneras, lo que significa que si $x > y$ entonces $x \succ y$ (más es siempre mejor). Entonces, si tomamos dos paquetes indiferentes $x \sim y$ tenemos que para cualquier $z < x$ no importa lo cerca que esté de $x$ que $z \prec y$ , como $z \prec x \sim y$ .
Sin embargo, lo que sí es cierto bajo la continuidad es lo siguiente:
El si $x \succ y$ entonces existe un $\epsilon > 0$ tal que para todo $z$ que son $\epsilon$ -cerca de $x$ tenemos $z \succ y$ .
prueba La prueba es por contradicción. Supongamos que no, entonces para todo $\varepsilon > 0$ hay un $z$ que es $\epsilon$ -cerca de $x$ y $z \succeq y$ . Tome una secuencia decreciente de tales $\epsilon = 1, 1/2, 1/3,\ldots, 1/n, \ldots$ . Entonces, para todos los $n$ hay un $z_n$ que es $1/n$ -cerca de $x$ y $z_n \succeq y$ . Tenemos que $z_n \to x$ por lo que por continuidad $x \succeq y$ una contradicción.
Del mismo modo, ¿qué pasaría si sólo $x_{odd} \succeq y$ (y $x_{even} \preceq y$ ) y $(x_i)_{i \ge 1} \to x$ se mantiene, no puede entonces $x \succeq y$ ?
Sí, este será el caso.
Para ver esto, supongamos que se cumple la condición Tomemos la sucesión de todos los términos impares $x_1, x_3, x_5,\ldots$ Tenemos que para cada $x_i$ en este término $x_i \succeq y$ . Además, a lo largo de esta secuencia $x_i \to x$ por lo que por continuidad $x \succeq y$ .
El caso es aún más fuerte ya que también podemos considerar la subsecuencia de términos pares $x_2, x_4, \ldots$ . Para cada $x_i$ en esta secuencia $x_i \preceq y$ y $x_i \to x$ . Como tal también $ x \preceq y$ . Esto significa que tanto $x \succeq y$ y $x \preceq y$ dando que $x$ y $y$ son indiferentes: $x \sim y$ .
En el ejemplo anterior, el axioma dice que puede ser cierto aunque no es necesario para $x \succeq y$ para mantener la verdad. A este respecto, ¿puedo obtener un ejemplo para entender por qué el axioma (original) tiene sentido en el mundo real (o en absoluto, en general) y esto no?
No entiendo muy bien esta pregunta.
Fijar un $y$ . La continuidad entonces requiere básicamente que no haya un salto repentino desde la región en la que se está estrictamente mejor que $y$ es decir, donde $x \succ y$ a la región en la que estás estrictamente peor que con $y$ es decir, donde $x \prec y$ .
En otras palabras, si te mueves de forma continua desde un elemento $x$ con $x \succ y$ a un elemento $x'$ con $x' \prec y$ entonces en algún momento encontrarás un elemento $x''$ en este camino con $x'' \sim y$ .
Una intuición alternativa es observar los conjuntos de contornos superiores: $$ U(y) = \{x: x \succeq y\} $$ y los conjuntos de contornos inferiores $$ L(y) = \{x: x \preceq y\}. $$ La continuidad requiere que ambos conjuntos estén cerrados.
