Sin conocer la ecuación de Slutsky y el efecto renta/sustitución, ¿cómo puedo demostrar que un determinado bien es inferior o Giffen?

Question

Digamos que tengo una función $x_1(p_1,p_2,m)$ donde $p_1, p_2$ son los precios del bien 1 y del bien 2, respectivamente, y m es la renta.

Ahora bien, no he oído hablar de la ecuación de Slutsky ni del efecto renta/sustitución.

¿Cómo puedo demostrar para esta función que es un bien inferior/normal y ordinario/Giffen?

Mi idea inicial era utilizar simplemente la derivada parcial y comprobar si es mayor o menor que cero, ya que

$\frac{\partial x_1(...)}{\partial m} \gt 0$ debería ser cierto para los bienes normales, $\frac{\partial x_1(...)}{\partial m} \lt 0$ para productos de calidad inferior, $\frac{\partial x_1(...)}{\partial p_1} \gt 0$ para los bienes de Giffen y $\frac{\partial x_1(...)}{\partial p_1} \lt 0$ para las mercancías ordinarias.

¿Es esto correcto?

¿Esto es todo lo que puedo hacer para demostrar formalmente que el bien es normal/ordinario? ¿Es suficiente?

Además, si puedo demostrar que la misma función para $x_1(m)$ es homogénea de grado 1 (es decir, homotética), es decir $tx_1(m)=x_1(tm)$ Esto significa que la derivada parcial $\frac{\partial x_1(...)}{\partial m}$ es homogénea de grado 0, por lo que sería una constante. ¿Podría concluir entonces que el bien es estrictamente normal/inferior (¿es ese un término?), es decir, que no cambia si cambia la renta?

Answer 1

Sí. Obsérvese que un bien es normal, inferior Giffen para un determinado valor de los precios/ingresos. Por ejemplo, un bien puede ser inferior para algunos precios/ingresos, pero normal para otros valores de los precios/ingresos.

Sin embargo, en algunos casos se pueden hacer afirmaciones más contundentes. Por ejemplo, las preferencias homotéticas siempre conducen a demandas normales como $$ x_1(p_1, p_2,m) = x_1(p_1, p_2,1) m $$ donde $x_1(p_1, p_2,1)$ es la función de demanda de renta unitaria que siempre es mayor o igual a cero.

De esto se deduce que la preferencia homotética nunca puede conducir a los bienes de Giffen (pero para demostrarlo se necesita la descomposición de Slutsky).