Mostrar si el vector de precios Arrow $\pi$ existe, entonces la ley de un precio se mantiene

Question

Ahora bien, la prueba que he leído va así:

Toma los activos 1 y 2, totalmente idénticos. Por supuesto, existe un vector de precios, es decir $\sum_s\pi_sd^1_s=q^1$ y $\sum_s\pi_sd^2_s=q^2$ donde $d^i_j$ es la retribución del activo $i$ en el estado $j$ y $\pi_i$ es el $i$ -ésimo elemento del vector de precios $\vec{\pi}$ . Desde $d^1_s=d^2_s$ para todos $s$ (activos idénticos), debemos tener $q^1=q^2$ .

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Mi pregunta sobre esta prueba es que el supuesto no dice sólo una $\vec{\pi}$ existe. Me parece posible que pueda haber otro vector de precios y que hayamos obtenido un precio diferente para el mismo activo. Por ejemplo, el vector de precios $(1,2,3)$ y $(2,3,4)$ .

Answer 1

Por vector de precios supongo que se refiere al vector de precios del estado cuya definición se puede encontrar aquí .

Según la definición anterior, el precio de un estado particular se refiere específicamente al precio de un contrato que paga exactamente una unidad de numeraire si ese estado ocurre y cero unidad en caso contrario. Y vector de precios del estado es, por tanto, el vector de precios estatales para todos los estados.

Así que me parece que este vector de precios del estado es algo normalizado, sólo un vector de precios del estado existe para una medida determinada. Por lo tanto, si dos activos son idénticos (proporcionan exactamente los mismos flujos de caja en cualquier estado), su precio debería ser igual al del otro sin importar lo que ocurra. Creo que este es el sentido de la ley del precio único.