El conjunto del consumo durante todo el período es convexo en $\mathbb{R}^T_+$ ?

Question

Hoy en clase, el profesor ha dicho que el conjunto de todos los consumos $c(S)$ es un subconjunto no vacío, compacto y convexo de $\mathbb{R}^T_+$ . es decir, sabemos $\sum \limits_{t=1} ^T c_t = S$ donde $c_t$ es el consumo en el periodo t y $S$ es la riqueza total. El conjunto $c(S)$ es el conjunto de todos los planes de consumo del período T.

Puedo entender por qué $c(S)$ es compacto, pero no tengo idea de por qué tiene que ser convexo y no vacío.

Tras la misma pregunta, el profesor también mencionó que $W(c)$ la suma de todas las funciones de utilidad del período T denotadas por $W(c)=\sum \limits_{t=1} ^T U(c_t)$ es continua en $c(S)$ . No entiendo por qué $W(c)$ tiene que ser continua en $c(S)$

Creo que esto tiene algo que ver con el teorema del Máximo de Berge, pero soy incapaz de enlazarlo correctamente. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Asumiendo lo siguiente:

• $ S > 0 $ , $T > 0 $ ,
• $ c(S) = \left\{c\in\Bbb{R}^T_{+} : \sum_{t=1}^T{c_t} = S \right\} $ y
• $ U(\cdot) $ continua.

Empecemos por la convexidad. Para demostrar la convexidad, tenemos que demostrar que para dos puntos cualesquiera $c^1$ y $c^2$ en $c(S)$ cualquier combinación lineal de ambos es también un elemento de $c(S)$ .

Dejemos que $\lambda \in [0,1]$ , $c^1 \in c(S)$ , $c^2 \in c(S)$ . Entonces, tenemos

$$ \sum_{t=1}^T{\lambda c^1_t + (1-\lambda) c^2_t} $$ $$ = \sum_{t=1}^T{\lambda c^1_t} + \sum_{t=1}^T{(1-\lambda) c^2_t} $$ $$ = \lambda \sum_{t=1}^T{c^1_t} + (1-\lambda) \sum_{t=1}^T{c^2_t} $$ $$ = \lambda S + (1-\lambda)S $$ $$ = S $$ $$ \Rightarrow \lambda c^1 + (1-\lambda) c^2 \in c(S) $$

Como cualquier combinación lineal de dos puntos cualesquiera de c(S) está a su vez en c(S), tenemos que c(S) es convexo.

Para la no vacuidad, sólo tenemos que demostrar que existe un único punto en c(S): $$ \sum_{t=1}^T{\frac{S}{T}} = S $$ $$ \Rightarrow \left\{ \frac{S}{T} \right\}^T \in c(S) $$

Si $U(\cdot)$ es continua en $c(S)$ entonces la continuidad de $W(c)$ se deduce de la desigualdad del triángulo (véase por ejemplo aquí o aquí ). Si no sabemos más sobre $U(\cdot)$ Entonces no hay mucho que podamos decir sobre $W(c)$ . El Teorema del Máximo de Berge tiene que ver con la continuidad de una función optimizada, no con la suma de funciones.