Fijación del precio de la opción de compra de un bono con cupón según Vasicek

Question

Consideremos el modelo de Vascicek, y dejemos que A y B denoten las funciones tales que $P(t,T)=\exp(A(t,T)-B(t,T)r(t))$ . Ahora veremos un bono con cupón que realiza pagos deterministas $\alpha_1,...,\alpha_N$ en las fechas $T_1,...,T_N$ . Es evidente que el precio de este bono con cupón es $$\pi^c(t)=\sum_{i|T_i<t}\alpha_i P(t,T_i)$$ .

Supongamos que $K$ como el precio de ejercicio de una opción de compra europea de vencimiento T sobre el bono con cupón.

Demuestre que existe $r*\in\mathbb{R}$ tal que $\pi^c(T)\geqslant K$ si y sólo si $r(T)\leqslant r*$ . Definir las huelgas ajustadas mediante $K_i=\exp(A(T,T_i)-B(T,T_i)r*)$ Demostrar que el pago de la llamada se puede escribir como:

$$(\pi^c(T)-K)^+=\sum_{i|T_i<t}\alpha_i (P(T,T_i)-K_i)^+$$

Mi intento: $\sum_{i|T_i<t}\alpha_i P(t,T_i)\geqslant K \implies\sum_{i|T_i<t}\alpha_i\exp(A(T,T_i)-B(T,T_i)r(T)) \geqslant K $

He intentado resolver esta ecuación para r(T) tomando los logratihtms pero no funciona porque obtengo $log(\sum_{i|T_i<t}\alpha_i\exp(A(T,T_i)-B(T,T_i)r(T)))$ .

Pregunta :

¿Cómo debo resolver este problema?

Gracias de antemano.

Answer 1

Me parece que lo que quiere probar es la El truco de Jamshidian .

Sabemos que la función $\Bbb R \ni r \to \exp(A(t,T)-B(t,T)r)$ es monótona y si $B(t,T) \neq 0$ (Si mi memoria es buena, normalmente, $B(t,T)>0$ ) entonces esta función obtiene el valor en $(0,+\infty)$ .

Entonces la función $\Bbb R \ni r \to \pi^c(t,r)=\sum_{i|T_i<t}\alpha_i P(t,T_i,r)$ también es decreciente (porque $B(t,T)>0$ ). Entonces, para todos los $K \in \Bbb R^*$ existe uno y sólo un valor $r^*$ tal que $\pi^c(t,r^*) = K$ . Y como la función $\pi^c(t,r)$ es decreciente, entonces $\pi^c(t,r^*) \ge K$ para todos $r <r^*$ (1).

De (1), es evidente que \begin{align} (\pi^c(T)-K)^+ &= (\sum_{i|T_i<t}\alpha_i P(t,T_i,r)-\sum_{i|T_i<t}\alpha_i P(t,T_i,r^*))^+ \\ &=\left( \sum_{i|T_i<t}\alpha_i \left( P(t,T_i,r)- P(t,T_i,r^*)\right) \right)^+ \\ &= \sum_{i|T_i<t}\alpha_i \left( P(t,T_i,r)- P(t,T_i,r^*)\right)^+ \tag{2} \\ \end{align}

Si denotamos $K_i=\exp(A(T,T_i)-B(T,T_i)r*)$ entonces (2) es equivalente a $$(\pi^c(T)-K)^+ = \sum_{i|T_i<t}\alpha_i \left( P(t,T_i,r)- K_i\right)^+$$