Función de producción CES Función de beneficio y oferta

Question

Necesito derivar la función de beneficio para la siguiente función CES: $$ f(z) = (\sqrt{z_{1}^{\rho} + z_{2}^{\rho}})^{1/ \rho}$$ donde $\rho \leq 1$ . Esta es la respuesta que se supone que debo recibir:

Si $ \rho <1$ entonces $$ \pi(w) = \begin{cases} \infty \;\;\;\;\; \text{if} & w_{1}^{\rho/(\rho -1)} + w_{2}^{\rho/(\rho -1)} <1 \\ 0 \;\;\;\;\; \text{if} & w_{1}^{\rho/(\rho -1)} + w_{2}^{\rho/(\rho -1)} \geq 1\ \end{cases} $$

Si $\rho = 1$ entonces:

$$ \pi(w) = \begin{cases} 0 & \text{if} \;\ Min\{w_{1},w_{2}\} \geq 1 \\ \infty & \text{if} \;\; Min\{w_{1},w_{2}\} < 1 \\ \end{cases} $$

Normalmente utilizo simplemente la maximización de beneficios o la minimización de costes FOC para obtener la función de beneficios, así como la de oferta. Pero he estado tratando de sortear este problema y realmente no puedo sortear estos resultados o (de particular importancia) cómo derivarlos. Dicho esto cualquier consejo, intuición, o simplemente ayuda con la derivación si te sientes particularmente desinteresado sería muy apreciado.

Gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia: La resolución de los FOC's supone que la solución es interior, en este caso, que los beneficios son positivos y menores que $\infty$ . Le recomiendo que derive la función de coste $c(y)$ y luego estudiar su derivada. Si el coste marginal es siempre menor que el precio del bien (probablemente se supone que es 1) entonces producir más es siempre mejor y los beneficios son ilimitados. Sin embargo, si el coste marginal es siempre mayor que el precio, entonces lo óptimo es no producir nada y obtener beneficios nulos.

Espero que esto ayude.