¿Cómo se obtiene la fórmula de la probabilidad marginal de elegir un nido en un modelo logit anidado?

Question

Estoy tratando de entender todos los detalles del logit anidado y lo que me confunde es la fórmula de la probabilidad marginal de elegir el nido. En más detalles: la probabilidad conjunta de que el individuo n elija la alternativa j se puede factorizar como la probabilidad de que el individuo n elija el nido k, multiplicada por la probabilidad de que el individuo i elija j condicionada a haber elegido el nido k.

Según tengo entendido, estamos descomponiendo el proceso de decisión en dos modelos: superior e inferior. En el modelo superior, el decisor elige un nido y en el inferior, una alternativa dentro del nido. Digamos que la utilidad del individuo n que elige la alternativa j en el nido k es

$$ U_{njk} = W_{nk} + Y_{nj} + \epsilon_{nk} + e_{nj} $$

donde $e_{nj}$ es EV I con parámetro de escala $\lambda_k$ y $\epsilon_{nk}$ es tal que el término de error compuesto es EV I con parámetro de escala 1.

El modelo inferior es trivial, es un logit simple. Sin embargo, el modelo superior no está claro para mí. La utilidad esperada del individuo n al elegir el nido k es

$$ EU_{nk} = W_{nk} + \lambda_kI_{nk} + \epsilon_{nk}$$

donde $\lambda_kI_{nk}$ es la utilidad esperada que n obtendrá de la elección dentro del nido. Y la probabilidad marginal de elegir el nido k es

$$P_{nB_k}=\frac{e^{W_{nk}+\lambda_kI_{nk}}}{\sum_{l=1}^K e^{W_{nl}+\lambda_kI_{n}}}$$

Mi pregunta es cómo esta probabilidad tiene una forma logit si $\epsilon_{nk}$ ¿no es un valor extremo? ¿O sí lo es? Porque según tengo entendido la suma de dos variables de valor extremo no es un valor extremo.

Gracias.

Answer 1

Resultó que mi lógica anterior estaba equivocada. Así es como debe hacerse.

Probabilidad marginal de elegir el nido $k$ es $$P_{nB_k} = P\left[\max_{j\in B_k} U_{njk} \geq \max_{j\in B_s} U_{njs}, \forall s\neq k \right]\\ = P\left[W_{nk}+\epsilon_{nk}+\max_{j\in B_k}(Y_{nj}+e_{nj}) \geq W_{ns}+\epsilon_{ns}+\max_{j\in B_s}(Y_{nj}+e_{nj}), \forall s\neq k \right]$$

Entonces, como $e_{nj}$ es iid $Gumbel(0,\lambda_t)$ , $\max_{j\in B_k}(Y_{nj}+e_{nj})$ es iid Gumbel con parámetro de localización $\lambda_kI_{nk}$ y el parámetro de escala $\lambda_k$ . La distribución de Gumbel se preserva sobre las transformaciones lineales por lo que $$ \max_{j\in B_k}(Y_{nj}+e_{nj})=\lambda_kI_{nk}+\xi_{nk}$$ donde $\xi_{nk}$ es iid $Gumbel(0,\lambda_t)$ . Sustituyendo de nuevo a la probabilidad marginal, obtenemos $$P_{nB_k} = P\left[(\epsilon_{nk}+\xi_{nk})-(\epsilon_{nk}+\xi_{nk}) \geq (W_{nk}+\lambda_kI_{nk})-(W_{ns}+\lambda_sI_{ns}), \forall s\neq k \right]\\ =\frac{e^{W_{nk}+\lambda_kI_{nk}}}{\sum_{s=1}^Ke^{W_{ns}+\lambda_sI_{ns}}} $$

la última igualdad se desprende del hecho de que $\epsilon_{nk}+\xi_{nk}$ es iid $Gumbel(0,1)$ por supuesto en $\epsilon_{nk}$ .