Juego de competencia de Cournot con 3 empresas

Question

Tres empresas compiten en Cournot. La curva de demanda inversa se denota p(q) donde p es el precio si se producen un total de q unidades. Los supuestos son: p(0)>0 y p'(q)<0 y p''(q) $\le 0$ siempre que p(q) >0. Las empresas tienen funciones de costes idénticas y continuas, c( $q_i$ ) >0 para todo $q_i$ >0. Supongamos que c'( $q_i$ ) $\ge 0$ , c''( $q_i$ ) $\ge$ 0 para todos $q_i$ $\ge 0$ y p(0) > c'(0). Consideramos los equilibrios de Nash de estrategia pura. Para las cantidades interiores , derive la condición de primer orden de la empresa i. ¿Está de acuerdo en que todas las empresas deben suministrar la misma cantidad en cualquier equilibrio? ¿Está de acuerdo en que existe un equilibrio único? Demuestre y explique sus respuestas.

Lo que hice es que

En primer lugar estoy de acuerdo en que las 3 empresas suministrarán la misma cantidad en el equilibrio y este equilibrio es único. El problema de maximización de beneficios para la empresa 1 es:

max p( $q_1$ + $q_2*$ + $q_3*$ ) $q_1$ -c( $q_1$ )

y el FOC es :

p'( $q_1$ + $q_2*$ + $q_3*$ ) $q_1$ +p( $q_1$ + $q_2*$ + $q_3*$ ) -c'( $q_1$ ) = 0

Si tuviera la función de demanda inversa y la función de costes, podría haber derivado la mejor función de respuesta. Pero ahora lo único que puedo decir es que $BR_1$ ( $q_2$ *, $q_3*$ ). Lo mismo ocurre con las otras dos empresas: $BR_2$ ( $q_1*$ , $q_3*$ ) y $BR_2(q_1* , q_2*$ ). Pero me he quedado en este punto y no puedo demostrar cómo estas cantidades son iguales. Cualquier ayuda será apreciada. Gracias.

Answer 1

El problema de maximización de beneficios de la empresa 1 es : \begin{eqnarray*} \max_{q_1} & \ p(q_1 + q_2 + q_3)q_1 - c(q_1) \end{eqnarray*} La respuesta de la empresa 1 a las opciones cuantitativas de las empresas 2 y 3 satisfará lo siguiente: \begin{eqnarray*} p(q_1 + q_2 + q_3) + p'(q_1 + q_2 + q_3)q_1 - c'(q_1) = 0 \end{eqnarray*} Asimismo, obtendremos las funciones implícitas de mejor respuesta para las demás empresas. \begin{eqnarray*} p(q_1 + q_2 + q_3) + p'(q_1 + q_2 + q_3)q_i - c'(q_i) = 0 \end{eqnarray*} para cada $i \in \{1,2 ,3\}$ .

Hay un equilibrio simétrico del juego anterior si existe $q^*$ tal que \begin{eqnarray*} p(3q^*) + p'(3q^*)q^* - c'(q^*) = 0 \end{eqnarray*} Para demostrar que existe, consideremos la siguiente función \begin{eqnarray*} g(q) = p(3q) + p'(3q)q - c'(q)\end{eqnarray*} Observe que $g(0) = p(0) - c'(0) > 0$ . Además, dado que $p(q)$ es decreciente y cóncavo, existe $\overline{q} > 0$ tal que $p(\overline{q}) \leq 0$ . En consecuencia, $g(\overline{q}) \leq 0$ . Por lo tanto, por el teorema del valor intermedio, existe $q^* \in [0,\overline{q}] $ tal que $g(q^*) = 0$ es decir \begin{eqnarray*} p(3q^*) + p'(3q^*)q^* - c'(q^*) = 0 \end{eqnarray*} También, $g'(q) = 4p'(3q) + 3p''(3q)q - c''(q) < 0$ . Desde $g(q)$ está disminuyendo en $q$ , $q^*$ es único. Por lo tanto, existe un equilibrio simétrico único. Para demostrar que es el único equilibrio, demostraremos que no hay ningún equilibrio en el que al menos dos de las empresas elijan cantidades diferentes. Para ello, vamos a restar la función de mejor respuesta implícita de la empresa 1 de la de la empresa 2, \begin{eqnarray*} p'(q_1 + q_2 + q_3)(q_2 - q_1) = c'(q_2) - c'(q_1) \end{eqnarray*} Obsérvese que la igualdad anterior sólo es válida para $q_2 = q_1$ . Esto se debe a que

• cuando $q_2 > q_1$ , $p'(q_1 + q_2 + q_3)(q_2 - q_1) < 0$ y $c'(q_2) - c'(q_1) > 0$ ,
• cuando $q_2 < q_1$ , $p'(q_1 + q_2 + q_3)(q_2 - q_1) > 0$ y $c'(q_2) - c'(q_1) < 0$ .

Por lo tanto, no hay ningún equilibrio que satisfaga $q_2 \neq q_1$ . Asimismo, no hay ninguno que satisfaga $q_2 \neq q_3$ o $q_1 \neq q_3$ .