Factores de producción sustitutivos o de apoyo

Question

Dada la función: $y=A K^\alpha L^\beta, A,\alpha,\beta >0$

$y=aK+bL^{0.5}, a,b>0$

Decida si el capital y el trabajo son factores de producción sustitutivos o complementarios. ¿Cómo resolver esta cuestión? Para responder a sus posibles preguntas quiero resaltar el hecho de que esto no es mi tarea ni nada que tenga que presentar, además simplemente no tengo idea de cómo responder a esta pregunta es por eso que no soy capaz de mostrar ningún intento de resolver esta pregunta.

EDIT: Mis ideas donde buscar de alguna manera la pendiente de la curva MRTS si es negativa esto implicará sustitutos perfectos si no existe entonces teóricamente debería implicar factores de apoyo, sin embargo la clave de respuesta dice que:

si $\frac{\Delta MP_L}{\Delta K}>0 \rightarrow$ apoyo

si $\frac{\Delta MP_L}{\Delta K}<0 \rightarrow$ sustitutos

si $\frac{A\beta K^\alpha L^{\beta-1}}{A\beta \alpha K^{\alpha -1} L^{\beta-1}}>0 \rightarrow $ sustitutos.

Y aquí estoy completamente perdido.

Answer 1

Busquemos el Producto Marginal del Trabajo, $MP_L$ : $$ \begin{align} MP_L \equiv \frac{\partial Y(K,L)}{\partial L} &=\frac{\partial }{\partial L}\left( aK + b L^{0.5} \right) \\ &= 0.5\cdot b \cdot L^{-0.5} \end{align} $$ Ahora encontrar $\frac{dMP_L}{dK}$ es trivial: $$ \begin{align} \frac{dMP_L}{dK} &= \frac{d}{dK} \left( 0.5\cdot b \cdot L^{-0.5}\right) = 0 \end{align} $$ Vemos que no depende del capital. Así que un cambio en $MP_L$