Relación del mismo proceso en diferentes momentos

Question

Supongamos que tengo un proceso adaptado $X_t$ . Tengo los precios de las opciones disponibles en $X_t$ para una gama de huelgas y maduritas. En particular, tengo

$$ C_0(K, T_1) = D(T_1)\mathbb{E}_Q[(X_{T_1} - K)_+], $$

y

$$ C_0(K, T_2) = D(T_2)\mathbb{E}_Q[(X_{T_2} - K)_+] $$ donde $D(t)$ es el factor de descuento (y estoy asumiendo determinisitc IR). Quiero sintetizar una opción con un pago $$ \bigg( \frac{X_{T_2}}{X_{T_1}} - K^\prime \bigg)_+ $$ en el momento $T_2$ (suponiendo que $T_1$ < $T_2$ ). ¿Es esto posible utilizando los precios de las opciones disponibles?

Información adicional:

• Soy consciente de La fórmula de Margrabe para la fijación de precios de una opción sobre la relación de dos activos diferentes, pero no creo que pueda aplicarse aquí?
• ¿Existe bibliografía sobre este tipo de opciones? Es difícil buscar algo cuando no se conoce el nombre técnico.

Gracias.

Answer 1

Esta es una opción de partida hacia adelante. Su precio no puede ser determinado por las vainillas que tiene, porque las vainillas sólo determinan las distribuciones marginales de las variables aleatorias - mientras que para fijar el precio de ésta, se necesita producir de alguna manera una distribución conjunta (correlacionar $X_{T1}$ y $X_{T2}$ ).

Una forma equivalente de hacer lo mismo es la siguiente. Es necesario tener una buena previsión de la volatilidad a plazo (es decir, qué precio tendría una opción vainilla con vencimiento $T2$ comercio en la fecha $T1$ ?). El valor esperado de esta volatilidad determinará el precio de esta opción. Obsérvese que esto es equivalente a especificar la distribución conjunta del apartado uno, porque hablar en términos de volatilidad a plazo es lo mismo que hablar en términos de correlación (intertemporal). Una alta correlación significa una baja volatilidad a plazo y viceversa.

Editar: En caso de que sólo quiera escupir algún precio sin preocuparse demasiado por el valor razonable, puede correlacionar estos por una cópula, e integrar el pago.