No encuentro para este juego Simple shared effort level

Question

Cada jugador puede contribuir al proyecto con un esfuerzo no negativo.

La utilidad del jugador 1 es $u_1=e_1(1+e_2-s\cdot e_1)$ donde $s\in [0,1]$ .

La utilidad del jugador 2 es $u_2=e_2(1+e_1-e_2)$

En el caso 1, cada jugador contribuye al proyecto simultáneamente.

Para el caso 2, el jugador 1 mueve primero y luego el 2 mueve después

No puedo encontrar un equilibrio de Nash (SPNE para el caso 2) si $s$ es menor que $1/4$ .

Si dibujo un diagrama de mejor respuesta, las dos funciones de mejor respuesta no se cruzan. Pero no creo que $e_1=0$ , $e_2=0$ es un equilibrio de Nash, ya que tendrían un incentivo para esforzarse más que $0$ esfuerzo.

Puede $e_1=\infty$ , $e_2=\infty$ ¿es un equilibrio nash?

Answer 1

Tienes razón, no hay equilibrio para $s\leq \frac{1}{4}$ . Obsérvese que el teorema de Nash sólo garantiza la existencia de un equilibrio en juegos finitos (lo que no es este juego). (Obsérvese también que $0$ no está en el conjunto de mejor respuesta de ninguno de los dos jugadores, por lo que sabemos que, si hubiera un equilibrio, no contendría un esfuerzo nulo por parte de ningún jugador).

Para intuir lo que sucede, considere el siguiente gráfico, que muestra las mejores funciones de respuesta para los dos jugadores, con $s=\frac{1}{4}$ . Como usted señala, las líneas no se cruzan. Supongamos que empezamos en el punto $(0,0)$ y dejar que cada jugador revise su acción por turnos, manteniendo constante la acción del otro jugador (línea discontinua). El jugador 1 actualizará su acción a $e_1=2$ la mejor respuesta a $e_2=0$ . Pero entonces, el jugador 2 actualizará su acción a $e_2=\frac{3}{2}$ . Esto continúa ad infinitum, sin llegar nunca a un equilibrio.