Ignorar la diferencia entre las distribuciones normal y log-normal

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema de un examen de Quant (abreviado):

Tienes 1000 dólares. Sólo puede invertir en dos acciones (independientes), A y B, con con los rendimientos esperados anualizados y las volatilidades dadas. Los tipos de interés son cero. Encuentre la cartera totalmente invertida que minimice la volatilidad de la cartera.

Luego está la pista, aparentemente para facilitar los cálculos: " Ignora también las diferencias entre las distribuciones normal y log-normal ."

Mi pregunta es sobre la pista, no estoy seguro de interpretarla correctamente: Utilizaría el hecho de que para un paso de tiempo infinitesimal $\mathrm d t$ que tenemos para el precio de las acciones $$\frac{\mathrm d S}{S} \sim N(\mu\, \mathrm d t, \sigma^2\,\mathrm d t),$$ que se desprende del modelo del precio de las acciones como un geom. movimiento browniano. En consecuencia, para un paso de tiempo suficientemente pequeño $\delta t$ esto implicaría que aproximadamente $$S(\delta t) \sim N((1+\mu) S(0)\delta t, \sigma^2S(0)^2\delta t).$$ La forma en que yo interpretaría la pista es que debería trabajar con esta aproximación, en lugar de utilizar esa $S(\delta t)$ se distribuye realmente (pero de forma casi imperceptible) de forma log-normal.

¿Es correcta mi interpretación? Me interesa si entiendo bien la pista desde el punto de vista estocástico.

Entonces, con $\mu_A = 0.1, \mu_B = 0.15, \sigma_A = 0.1$ y $\sigma_B = 0.2$ obtendría lo siguiente: Si invierto $\lambda_A$ USD en la acción A, y $1000-\lambda_A$ en la acción B, entonces el valor de la cartera $\Pi$ después de $\delta t$ se distribuiría aproximadamente como $$\Pi(\delta t) \sim N\big([1.1\lambda_A +1.15(1000-\lambda_A)]\delta t, [0.01\lambda_A^2+0.04(1000-\lambda_A)^2]\delta t).$$ De esto, obtendría directamente:

• El beneficio esperado de la cartera se maximiza si la cartera se compone enteramente de la acción B (es decir $\lambda_A = 0$ ).
• La volatilidad de la cartera se minimizaría si invierto 800 USD en la acción A y 200 USD en la acción B (es decir $\lambda_A = 800$ ).

Me interesa entender bien las matemáticas subyacentes, y no tanto aplicar una fórmula que no entiendo.

Answer 1

Problema súper básico de varianza mínima de Markowitz

La rentabilidad de la cartera es $r_p = w_a r_a + w_b r_b$ por lo que la varianza de la cartera (bajo el supuesto de activos independientes es $w^2_a \sigma^2_b + w^2_b \sigma^2_b$

$$\begin{equation} \begin{array}{*2{>{\displaystyle}r}} \mbox{minimize (over $w_a, w_b$)} & w^2_a \sigma^2_b + w^2_b \sigma^2_b \\ \mbox{subject to} & w_a + w_b = 1 \end{array} \end{equation}$$ Se trata de un problema de optimización convexo en el que se cumple la condición de Slater. Las condiciones de primer orden son condiciones necesarias y suficientes para un óptimo. Haciendo un poco de álgebra sobre las condiciones de primer orden se obtiene: $$w_a = \frac{\sigma^2_b}{\sigma^2_a + \sigma^2_b} \quad \quad w_b = \frac{\sigma^2_a}{\sigma^2_a + \sigma^2_b}$$

Utilizando sus valores de $\sigma_a = .1$ y $\sigma_b = .2$ entonces $w_a = .2$ y $w_b = .8$ como lo has calculado.