Estoy tratando de resolver el siguiente problema de un examen de Quant (abreviado):
Tienes 1000 dólares. Sólo puede invertir en dos acciones (independientes), A y B, con con los rendimientos esperados anualizados y las volatilidades dadas. Los tipos de interés son cero. Encuentre la cartera totalmente invertida que minimice la volatilidad de la cartera.
Luego está la pista, aparentemente para facilitar los cálculos: " Ignora también las diferencias entre las distribuciones normal y log-normal ."
Mi pregunta es sobre la pista, no estoy seguro de interpretarla correctamente: Utilizaría el hecho de que para un paso de tiempo infinitesimal dt que tenemos para el precio de las acciones dSS∼N(μdt,σ2dt), que se desprende del modelo del precio de las acciones como un geom. movimiento browniano. En consecuencia, para un paso de tiempo suficientemente pequeño δt esto implicaría que aproximadamente S(δt)∼N((1+μ)S(0)δt,σ2S(0)2δt). La forma en que yo interpretaría la pista es que debería trabajar con esta aproximación, en lugar de utilizar esa S(δt) se distribuye realmente (pero de forma casi imperceptible) de forma log-normal.
¿Es correcta mi interpretación? Me interesa si entiendo bien la pista desde el punto de vista estocástico.
Entonces, con μA=0.1,μB=0.15,σA=0.1 y σB=0.2 obtendría lo siguiente: Si invierto λA USD en la acción A, y 1000−λA en la acción B, entonces el valor de la cartera Π después de δt se distribuiría aproximadamente como Π(δt)∼N([1.1λA+1.15(1000−λA)]δt,[0.01λ2A+0.04(1000−λA)2]δt). De esto, obtendría directamente:
- El beneficio esperado de la cartera se maximiza si la cartera se compone enteramente de la acción B (es decir λA=0 ).
- La volatilidad de la cartera se minimizaría si invierto 800 USD en la acción A y 200 USD en la acción B (es decir λA=800 ).
Me interesa entender bien las matemáticas subyacentes, y no tanto aplicar una fórmula que no entiendo.